Seri Fourier: sejarah dan pengaruh mekanisme matematika untuk pengembangan ilmu pengetahuan

seri Fourier - pandangan ini sewenang-wenang dipilih berfungsi untuk periode berturut-turut. Secara umum, solusi ini disebut elemen ekspansi secara orthogonal. Perluasan fungsi dalam seri Fourier cukup alat yang ampuh untuk memecahkan berbagai masalah karena sifat dari transformasi dalam integrasi, diferensiasi, serta pergeseran dalam ekspresi argumen dan konvolusi.

Seseorang yang tidak akrab dengan matematika yang lebih tinggi, serta dengan karya-karya ilmuwan Fourier Perancis, kemungkinan besar tidak akan mengerti apa yang "barisan" dan apa yang mereka lakukan. Namun transformasi ini cukup tegas memasuki hidup kita. Hal ini digunakan tidak hanya matematika, tetapi juga fisikawan, ahli kimia, dokter, astronom, ahli gempa, ahli kelautan dan lain-lain. Mari kita juga melihat lebih dekat dengan karya-karya ilmuwan besar Perancis yang membuat penemuan, dari waktu ke depan.

Pria dan Transformasi Fourier

seri Fourier adalah salah satu metode (bersama dengan analisis dan lain-lain) dari transformasi Fourier. Proses ini berlangsung setiap kali seseorang mendengar suara apapun. telinga kita secara otomatis mengkonversi gelombang suara. gerakan osilasi dari partikel elementer dalam media elastis diperluas dalam seri (spektrum) nilai volume yang berturut-turut untuk nada tinggi yang berbeda. Berikutnya, otak mengkonversi data ini ke suara akrab bagi kita. Semua ini selain keinginan atau kesadaran sendiri kami, tetapi untuk memahami proses yang memakan waktu beberapa tahun untuk belajar matematika yang lebih tinggi.

Baca lebih lanjut tentang Transformasi Fourier

Transformasi Fourier dapat dilakukan analisis, angka dan metode lainnya. seri Fourier adalah proses angka untuk membusuk setiap proses osilasi - dari pasang surut laut dan gelombang cahaya untuk siklus matahari (dan benda-benda astronomi lainnya) aktivitas. Dengan menggunakan teknik matematika, adalah mungkin untuk membongkar fungsi, mewakili setiap proses osilasi dalam sejumlah komponen sinusoidal yang pergi dari minimum ke maksimum dan sebaliknya. Transformasi Fourier adalah fungsi yang menggambarkan fase dan amplitudo sinusoid sesuai dengan frekuensi tertentu. Proses ini dapat digunakan untuk memecahkan persamaan yang sangat kompleks yang menggambarkan proses dinamis yang terjadi di bawah aksi panas, cahaya atau energi listrik. Juga, seri Fourier digunakan untuk membedakan komponen DC di bentuk gelombang kompleks, sehingga memungkinkan untuk benar menafsirkan pengamatan eksperimental dalam kedokteran, kimia dan astronomi.

informasi sejarah

Bapak pendiri teori ini adalah matematikawan Perancis Zhan Batist Zhozef Fure. Namanya kemudian dan transformasi ini telah disebut. Awalnya, para ilmuwan menggunakan teknik untuk mempelajari dan menjelaskan mekanisme konduktivitas termal - propagasi panas dalam padatan. Fourier menyarankan bahwa distribusi tidak teratur awal gelombang panas dapat didekomposisi menjadi sinusoid sederhana, yang masing-masing akan memiliki minimum suhu dan maksimum, serta fase. Dengan demikian masing-masing komponen tersebut akan diukur dari minimum ke maksimum dan sebaliknya. Fungsi matematika yang menggambarkan puncak atas dan bawah kurva, serta fase masing-masing harmonik, disebut Transformasi Fourier dari distribusi temperatur ekspresi. Penulis teori berkurang fungsi distribusi keseluruhan yang sulit untuk deskripsi matematis, dalam sangat mudah untuk menangani sejumlah fungsi periodik dari sinus dan cosinus, dalam jumlah memberikan distribusi awal.

Prinsip konversi dan pandangan sezaman

Sezaman dari ilmuwan - matematikawan terkemuka dari awal abad kesembilan belas - tidak menerima teori ini. Keberatan utama adalah persetujuan Fourier bahwa fungsi terputus menggambarkan garis lurus atau kurva robek, dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari ekspresi sinusoidal yang terus menerus. Sebagai contoh, mempertimbangkan "langkah" Heaviside: nilainya adalah nol di sebelah kiri kesenjangan dan satu di sebelah kanan. Fungsi ini menggambarkan ketergantungan arus listrik pada variabel waktu untuk rantai penutupan. Teori kontemporer pada waktu itu, tidak pernah mengalami situasi seperti, ketika ekspresi terputus akan dijelaskan oleh kombinasi terus menerus, fungsi umum, seperti eksponensial, sinus, linear atau kuadrat.

Apa yang mengganggu matematikawan Perancis dalam teori Fourier?

Setelah semua, jika matematika adalah hak untuk berpendapat, kemudian, menjumlahkan seri Fourier trigonometri yang tak terbatas, adalah mungkin untuk mendapatkan representasi akurat dari langkah berekspresi, bahkan jika itu memiliki seperangkat langkah serupa. Pada awal abad kesembilan belas, pernyataan ini tampak masuk akal. Tapi meskipun semua keraguan, banyak ahli matematika telah memperluas ruang lingkup studi fenomena ini, bergerak di luar studi konduksi termal. Namun, kebanyakan ilmuwan terus menderita pertanyaan: "? Dapatkah jumlah dari seri gelombang sinus konvergen ke nilai yang tepat dari fungsi terputus"

Konvergensi deret Fourier: Contoh

Isu konvergensi naik setiap kali Anda perlu penjumlahan dari seri terbatas dari nomor. mempertimbangkan contoh klasik untuk memahami fenomena ini. Dapatkah Anda pernah mencapai dinding, jika setiap langkah adalah setengah sebelumnya? Misalkan Anda adalah dua meter dari gawang, langkah pertama lebih dekat dengan sekitar setengah jalan, berikutnya - tanda dari tiga perempat, dan setelah kelima, Anda akan mengatasi hampir 97 persen dari jalan. Namun, tidak peduli berapa banyak langkah yang telah Anda lakukan tidak, sasaran yang dituju Anda mencapai dalam arti matematika yang ketat. Menggunakan perhitungan numerik, kita dapat membuktikan bahwa pada akhirnya mungkin lebih dekat dengan jarak yang diberikan sewenang-wenang kecil. Ini setara dengan bukti menunjukkan bahwa nilai total satu setengah, seperempat, dan sebagainya. E. Akan cenderung kesatuan.

Isu konvergensi: kedatangan kedua, atau instrumen Lord Kelvin

Berulang kali muncul pertanyaan di akhir abad kesembilan belas, ketika seri Fourier telah mencoba menggunakan untuk memprediksi intensitas surut dan arus. Pada saat itu, Lord Kelvin diciptakan perangkat komputer analog yang memungkinkan pelaut angkatan laut dan memantau pedagang laut merupakan fenomena alam. set mekanisme yang ditetapkan ini fase dan amplitudo tinggi tabel pasang surut dan saat-saat waktu yang sesuai, hati-hati diukur di pelabuhan sepanjang tahun. Setiap parameter adalah sinusoidal ketinggian ekspresi komponen pasang dan adalah salah satu komponen biasa. Hasil pengukuran adalah input ke perangkat komputasi Lord Kelvin, sintesis kurva yang diperkirakan ketinggian air sebagai fungsi dari tahun berikutnya. Segera, kurva ini disusun untuk semua pelabuhan di dunia.

Dan jika proses akan rusak fungsi terputus-putus?

Pada saat itu, tampaknya jelas bahwa perangkat memprediksi gelombang pasang, dengan banyak unsur account dapat menghitung sejumlah besar fase dan amplitudo, sehingga memberikan prediksi yang lebih akurat. Namun demikian, ternyata bahwa pola ini tidak diamati dalam kasus di mana ekspresi pasang surut yang akan disintesis, terdapat lonjakan tajam, yaitu, yang terputus-putus. Dalam hal aparat untuk memasukkan data dari tabel titik waktu, menghitung beberapa koefisien Fourier. Memulihkan fungsi asli karena komponen sinusoidal (sesuai dengan koefisien ditemukan). Perbedaan antara asli dan ekspresi direkonstruksi dapat diukur pada titik apapun. Ketika perhitungan ulang dan perbandingan dapat dilihat bahwa nilai kesalahan terbesar tidak berkurang. Namun, mereka terlokalisasi di daerah sesuai dengan titik pecah, dan titik lain cenderung nol. Pada tahun 1899, hasil ini dikonfirmasi secara teoritis Joshua Willard Gibbs dari Yale University.

Konvergensi deret Fourier dan pengembangan matematika secara keseluruhan

analisis Fourier tidak berlaku untuk ekspresi yang mengandung jumlah tak terbatas semburan pada interval tertentu. Dalam seri Fourier umum, jika fungsi asli diwakili oleh hasil pengukuran fisik yang sebenarnya, selalu berkumpul. Pertanyaan konvergensi dari proses ini untuk kelas tertentu dari fungsi telah menyebabkan cabang baru matematika, seperti teori fungsi umum. Hal ini terkait dengan nama-nama seperti Schwartz, J .. Mikusiński dan J. Temple. Di bawah teori ini, secara teoritis yang jelas dan tepat untuk ekspresi seperti telah ditetapkan sebagai fungsi delta Dirac (menggambarkan wilayah daerah tunggal, terkonsentrasi di lingkungan kecil dari titik) dan "langkah" Heaviside. Melalui karya ini seri Fourier menjadi berlaku untuk memecahkan persamaan dan masalah, yang melibatkan konsep intuitif: muatan titik, titik massa, dipol magnetik, dan beban terkonsentrasi pada balok.

metode Fourier

seri Fourier, sesuai dengan prinsip-prinsip gangguan, mulai dengan dekomposisi bentuk kompleks menjadi sederhana. Misalnya, perubahan dalam aliran panas karena perjalanan melalui berbagai hambatan panas bahan isolasi yang bentuknya tidak beraturan atau mengubah permukaan tanah - gempa bumi, perubahan orbit benda angkasa - pengaruh planet-planet. Biasanya, persamaan ini menggambarkan sistem yang sederhana SD klasik diselesaikan untuk setiap panjang gelombang individu. Fourier telah menunjukkan bahwa solusi sederhana dapat disimpulkan sebagai lebih tugas-tugas kompleks. Dalam bahasa matematika, seri Fourier - metodologi untuk pengajuan ekspresi jumlah harmonik - cosinus dan gelombang sinus. Oleh karena itu, analisis ini juga dikenal dengan nama "analisis harmonik".

seri Fourier - metode yang ideal untuk "era komputer"

Sebelum penciptaan metode teknologi komputer Fourier adalah senjata terbaik di gudang ilmuwan yang bekerja dengan sifat gelombang dunia kita. seri Fourier dalam bentuk kompleks memungkinkan Anda untuk tidak hanya memecahkan masalah sederhana yang setuju untuk mengarahkan penerapan hukum Newton mekanika, tetapi juga persamaan mendasar. Sebagian besar penemuan sains Newtonian dari abad kesembilan belas menjadi mungkin hanya karena metode Fourier.

seri Fourier hari ini

Dengan perkembangan Fourier transform komputer telah meningkat ke tingkat yang baru. Teknik ini tertanam kuat di hampir semua bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Sebagai contoh, sebuah audio digital dan video. pelaksanaannya telah dimungkinkan hanya berkat teori yang dikembangkan oleh matematikawan Perancis awal abad kesembilan belas. Dengan demikian, seri Fourier dalam bentuk kompleks telah memungkinkan untuk membuat terobosan dalam studi luar angkasa. Selain itu, telah mempengaruhi studi fisika dari material semikonduktor dan plasma, akustik microwave, oseanografi, radar, seismologi.

trigonometri seri Fourier

Dalam matematika, serangkaian Fourier adalah cara untuk mewakili fungsi kompleks sewenang-wenang sebagai jumlah dari sederhana. Dalam kasus umum, jumlah ekspresi mungkin tak terbatas. besar jumlah yang dihitung dalam perhitungan, semakin akurat hasil akhir diperoleh. yang paling umum penggunaannya cosinus trigonometri sederhana atau fungsi sinus. Dalam hal ini, seri Fourier disebut trigonometri, dan keputusan ekspresi seperti - dekomposisi harmonik. Metode ini memainkan peran penting dalam matematika. Pertama-tama, seri trigonometri menyediakan sarana untuk gambar, serta studi fungsi, itu adalah unit utama dari teori. Selain itu, memungkinkan kita untuk memecahkan sejumlah masalah dalam fisika matematika. Akhirnya, teori ini telah memberikan kontribusi terhadap pengembangan analisis matematis, itu memunculkan sejumlah cabang yang sangat penting dari ilmu matematika (teori integral, teori fungsi periodik). Selain itu, titik awal untuk pengembangan berikut teori: set, fungsi real variabel, analisis fungsional, dan juga meletakkan dasar untuk analisis harmonik.