FormasiIlmu

Aljabar Boolean. aljabar logika. Elemen logika matematika

Dalam dunia sekarang ini kita semakin menggunakan berbagai mesin dan gadget. Dan tidak hanya bila diperlukan untuk menerapkan kekuatan harfiah super: memindahkan beban untuk meningkatkan ke ketinggian, menggali parit panjang dan dalam, dll Mobil hari ini mengumpulkan robot, makanan dimasak Multivarki dan perhitungan aritmatika dasar menghasilkan kalkulator ... Lebih dan lebih sering kita mendengar ungkapan "aljabar Boolean". Mungkin waktunya telah datang untuk memahami peran manusia dalam penciptaan robot dan mesin kemampuan untuk memecahkan tidak hanya matematika, tetapi juga masalah logis.

logika

Dalam logika Yunani - sistem memerintahkan pemikiran yang menciptakan hubungan antara kondisi yang diberikan dan memungkinkan Anda untuk membuat kesimpulan berdasarkan asumsi dan estimasi. Cukup sering, kita saling bertanya: "Adalah logis untuk" Jawabannya menegaskan asumsi kita atau mengkritik kereta pemikiran. Tetapi proses tidak berhenti di situ: kami terus berbicara.

Kadang-kadang jumlah kondisi (input) begitu besar, dan hubungan antara mereka begitu membingungkan dan kompleks bahwa otak manusia tidak mampu "mencerna" sekaligus. Anda mungkin membutuhkan lebih dari satu bulan (minggu, tahun) untuk memahami apa yang terjadi. Tapi kehidupan modern tidak memberi kita interval waktu tersebut untuk membuat keputusan. Dan kita resor untuk bantuan komputer. Dan di sini bahwa ada aljabar dan logika, dengan hukum dan sifat. Setelah men-download semua data asli, kami memungkinkan komputer untuk mengenali semua hubungan, untuk menghilangkan kontradiksi dan untuk menemukan solusi yang memuaskan.

Matematika dan logika

Terkenal Gotfrid Vilgelm Leybnits merumuskan konsep "logika matematika", yang tugas yang mudah untuk memahami hanya lingkaran kecil ulama. Yang menarik adalah arah tidak menyebabkan, dan ke pertengahan abad XIX logika matematika dikenal oleh beberapa.

The minat yang besar dalam komunitas ilmiah telah menyebabkan perselisihan di mana Inggris Dzhordzh Bul menyatakan niatnya untuk mendirikan cabang matematika, tidak memiliki sama sekali tidak ada penggunaan praktis. Seperti kita ketahui dari sejarah, saat ini aktif mengembangkan produksi industri, kami mengembangkan semua jenis mesin bantu, t. E. Semua penemuan ilmiah memiliki orientasi praktis.

Ke depan, kita mengatakan bahwa aljabar Boolean - yang paling banyak digunakan di dunia saat ini bagian dari matematika. Jadi argumen Anda Buhl hilang.

Dzhordzh Bul

Kepribadian penulis layak perhatian khusus. Bahkan mengingat fakta bahwa di masa lalu orang tumbuh di hadapan kita, masih perlu dicatat bahwa dalam 16 tahun John. Buhl mengajar di sekolah desa, dan untuk 20 tahun membuka sekolah sendiri di Lincoln. Matematika sempurna menguasai lima bahasa asing, dan di waktu luang, membaca karya-karya Newton dan Lagrange. Dan semua ini - pada anak seorang pekerja biasa ini!

Pada tahun 1839, Buhl mengirim surat pertama ilmiah di Cambridge Jurnal matematika. Ilmuwan berpaling 24 tahun. kerja Boole adalah anggota begitu tertarik dari Royal Society, pada tahun 1844 ia menerima medali untuk kontribusinya pada pengembangan analisis matematis. Beberapa makalah yang diterbitkan di mana unsur-unsur logika matematika, matematika memungkinkan muda untuk mengambil jabatan profesor di College of County Cork digambarkan. Ingat bahwa pada pendidikan sangat Boole tidak.

ide

Pada prinsipnya, aljabar Boolean sangat sederhana. Ada pernyataan (logis ekspresi) itu, dari sudut pandang matematika, hanya dapat didefinisikan dalam dua kata: "true" atau "false". Misalnya, pohon-pohon di musim semi mekar - kebenaran, di musim panas itu salju - kebohongan. Keindahan matematika adalah bahwa hal itu tidak benar-benar diperlukan untuk hanya menggunakan angka. Untuk penilaian aljabar cukup sesuai pernyataan dengan makna yang unik.

Dengan demikian, aljabar logika dapat digunakan secara harfiah di mana-mana: di penjadwalan dan menulis instruksi, analisis informasi yang bertentangan tentang peristiwa dan penentuan urutan tindakan. Hal yang paling penting - untuk menyadari bahwa tidak peduli bagaimana kita menentukan kebenaran atau kesalahan laporan. Dari ini "bagaimana" dan "mengapa" Anda harus mengabaikan. Yang penting adalah hanya pernyataan fakta: kebenaran adalah dusta.

Tentu saja, pemrograman fungsi yang paling penting dari aljabar logika yang direkam dengan tanda-tanda dan simbol-simbol yang sesuai. Dan belajar mereka - itu berarti untuk belajar bahasa asing baru. Tidak ada yang mustahil.

konsep dasar dan definisi

Tanpa pergi ke kedalaman, kita berurusan dengan terminologi. Jadi, aljabar Boolean mengandaikan:

  • pernyataan;
  • operasi logis;
  • fungsi dan hukum.

Laporan - ekspresi afirmatif yang dapat diartikan dua-nilai. Mereka ditulis sebagai angka (5> 3) atau dirumuskan kata familiar (gajah - mamalia terbesar). Dalam hal ini, frase "leher jerapah tidak" juga memiliki hak untuk hidup, hanya aljabar Boolean mendefinisikannya sebagai "kebohongan."

Semua pernyataan harus jelas, tetapi mereka mungkin dasar atau senyawa. penggunaan baru-baru bundel logis. E. Dalam senyawa pernyataan aljabar penilaian yang dibentuk oleh penambahan operasi logika dasar.

operasi aljabar Boolean

Kita sudah ingat bahwa operasi di aljabar dari penilaian - logis. Sama seperti aljabar nomor menggunakan operasi aritmatika untuk menambah, mengurangi, atau membandingkan angka, elemen logika matematika memungkinkan untuk membuat pernyataan yang kompleks, untuk menolak atau untuk menghitung hasil akhir.

operasi logika untuk formalisasi dan kesederhanaan dinyatakan dengan rumus, kita kenal dalam aritmatika. Sifat persamaan aljabar Boolean memungkinkan untuk merekam dan menghitung diketahui. operasi logis biasanya dicatat oleh tabel kebenaran. unsur-unsurnya menentukan kolom dan operasi komputasi yang dilakukan pada mereka, dan baris menunjukkan hasil perhitungan.

logika dasar tindakan

Yang paling umum dalam operasi aljabar Boolean adalah negasi (NOT), dan logika AND dan OR. Jadi adalah mungkin untuk menggambarkan hampir semua langkah-langkah dalam penilaian aljabar. Kami mempelajari secara rinci masing-masing tiga operasi.

Negasi (tidak) diterapkan untuk hanya satu elemen (operan). Oleh karena itu, operasi ini disebut negasi unary. Untuk merekam konsep "tidak A" menggunakan simbol-simbol: ¬, A atau A !. Dalam bentuk tabel terlihat seperti ini:

Fungsi penolakan khas pernyataan seperti: jika A benar, maka A - adalah palsu. Misalnya, bulan berputar mengelilingi Bumi - kebenaran; Bumi berputar mengelilingi bulan - kebohongan.

perkalian logis dan penambahan

Operasi logika AND disebut konjungsi. Apa artinya? Pertama, bahwa hal itu dapat diterapkan untuk dua operan, yaitu, I - .. operasi Binary. Kedua, hanya dalam kasus kebenaran kedua operan (A dan B) adalah benar dan ekspresi itu sendiri. pepatah, "Kesabaran dan sedikit usaha" menyiratkan bahwa hanya dua faktor yang dapat membantu seseorang mengatasi kesulitan.

simbol yang digunakan untuk merekam: A∧B, A⋅B atau A && B.

Konjungsi ini mirip dengan perkalian dalam aritmatika. Kadang-kadang dan mengatakan - perkalian logis. Jika Anda kalikan unsur-unsur barisan meja, kita mendapatkan hasil yang serupa dengan pemikiran logis.

Disjunction adalah logika OR operasi. Ini adalah TRUE jika setidaknya salah satu pernyataan yang benar (A atau B). Hal ini ditulis seperti ini: A∨B, A + B atau A || B. tabel kebenaran untuk operasi ini adalah:

Disjunction Selain aritmatika yang sama. Operasi Selain itu logis hanya memiliki satu batasan: 1 + 1 = 1. Tapi kita ingat bahwa dalam format digital terbatas pada logika matematika 0 dan 1 (di mana 1 - kebenaran, 0 - false). Sebagai contoh, pernyataan "di museum Anda dapat melihat karya atau menemukan perusahaan yang baik" berarti apa yang Anda lihat karya seni, dan adalah mungkin untuk memenuhi orang yang menarik. Pada saat yang sama, tidak menutup kemungkinan pemenuhan simultan dari kedua peristiwa.

Fungsi dan hukum

Jadi, kita sudah tahu apa operasi logis menggunakan aljabar Boolean. Fungsi menjelaskan semua sifat-sifat unsur-unsur logika matematika, dan memungkinkan kita untuk menyederhanakan pernyataan majemuk kompleks. Yang paling jelas dan sederhana tampaknya properti penolakan dari operasi turunan. Dengan derivatif dipahami XOR, implikasi dan kesetaraan. Seperti yang telah kita baca hanya dengan operasi dasar, dan kemudian properti ini juga hanya menganggap mereka.

Associativity berarti bahwa dalam pernyataan seperti "A dan B, dan B 'urutan daftar dari operan tidak masalah. rumus ditulis sebagai berikut:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Seperti yang Anda lihat, ini bukan unik untuk hubungannya tapi disjungsi a.

Komutatif berpendapat bahwa hasil dari hubungannya atau disjungsi tidak tergantung pada item mana dianggap di awal:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity memungkinkan mengungkapkan kurung dalam ekspresi logika kompleks. Aturan serupa dengan kurung buka di perkalian dan penambahan dalam aljabar:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Sifat Unit dan awal, yang dapat menjadi salah satu operan juga mirip dengan aljabar perkalian dengan nol atau satu, dan penambahan unit:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency memberitahu kita bahwa jika relatif dua operan yang sama hasil operasi adalah sama, Anda dapat "membuang" operan menyulitkan penalaran kelebihan. Dan hubungannya dan disjungsi operasi yang idempoten.

B∧B = B; B∨B = B.

Akuisisi ini juga memungkinkan kita untuk menyederhanakan persamaan. Penyerapan menyatakan bahwa ketika ekspresi diterapkan ke satu operan, operasi lain dengan unsur yang sama dari hasil operan menyerap operasi.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

urutan operasi

Urutan operasi sangat penting. Sebenarnya, seperti untuk aljabar, ada fungsi prioritas yang menggunakan aljabar Boolean. Rumus dapat disederhanakan hanya tunduk pada pentingnya operasi. Peringkat yang paling signifikan untuk diabaikan, kita memperoleh urutan berikut:

1. Denial.

2. Konjungsi.

3. disjungsi, XOR.

4. Implikasinya, kesetaraan.

Seperti yang Anda lihat, hanya negasi dari hubungannya dan tidak memiliki prioritas yang sama. Sebuah prioritas disjungsi dan XOR adalah sama, serta prioritas implikasi dan kesetaraan.

Fungsi implikasi dan ekuivalensi

Seperti yang telah kami katakan, selain operasi logis dasar, logika matematika dan teori algoritma menggunakan derivatif. Hal ini paling sering implikasi dan kesetaraan.

Implikasi atau konsekuensi logis - pernyataan ini, di mana salah satu tindakan adalah suatu kondisi, dan lainnya - hasil pelaksanaannya. Dengan kata lain, usulan ini dengan dalih "jika ... maka". "Setelah makan malam datang hisab." E. Untuk mengemudi diperketat di bukit kereta luncur. Jika tidak ada keinginan untuk bergerak turun dari gunung, dan kemudian tarik kereta luncur tidak diperlukan. Ditulis sehingga: A → B atau A⇒B.

Kesetaraan menyiratkan bahwa efek bersih terjadi hanya ketika kedua operan adalah benar. Sebagai contoh, malam memberikan cara untuk hari kemudian (dan hanya kemudian), ketika matahari terbit di atas cakrawala. Dalam bahasa logika matematika dari pernyataan ini ditulis sebagai A≡B, A⇔B, A == B.

hukum lainnya aljabar Boolean

Aljabar penghakiman berkembang, dan banyak ilmuwan yang tertarik untuk merumuskan undang-undang baru. Yang paling terkenal dianggap mendalilkan matematika Skotlandia O. De Morgan. Dia melihat dan memberikan definisi properti seperti negasi dekat, penambahan dan ganda negatif.

Tutup penolakan menunjukkan bahwa sebelum kurung tidak dapat disangkal: tidak (A atau B) A = tidak atau B. TIDAK

Ketika operan ditolak, terlepas dari nilainya, tentang penambahan:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Dan akhirnya, negasi ganda itu sendiri mengkompensasi. yaitu sebelum salah negasi operan menghilang atau tetap hanya satu.

Bagaimana mengatasi tes

Logika menyiratkan penyederhanaan yang telah ditentukan persamaan. Sama seperti di aljabar Lie, maka perlu maksimal memfasilitasi kondisi pertama (untuk menyingkirkan operasi input yang rumit, dan dengan mereka), kemudian mulai mencari jawaban yang benar.

Apa yang harus dilakukan untuk menyederhanakan? Mengkonversi semua derivatif dalam operasi sederhana. Kemudian mengungkap semua kurung (atau sebaliknya, untuk membuat kurung untuk mengurangi elemen ini). Langkah berikutnya harus menggunakan sifat aljabar Boolean dalam praktek (sifat penyerapan nol dan satu, dan t.).

Pada akhirnya, persamaan harus terdiri dari jumlah minimum yang tidak diketahui, dikombinasikan dengan operasi sederhana. Cara termudah untuk mencari solusi, jika Anda membuat sejumlah besar negatif dekat. Maka jawabannya akan muncul seolah-olah dengan sendirinya.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 delachieve.com. Theme powered by WordPress.