Hipotesis Riemann. Distribusi bilangan prima

Pada tahun 1900, salah satu ilmuwan terbesar abad lalu, David Hilbert membuat daftar yang terdiri dari 23 masalah yang belum terpecahkan matematika. Bekerja pada mereka telah memiliki dampak yang luar biasa pada pengembangan bidang ini pengetahuan manusia. Setelah 100 tahun di tanah liat Institut matematika disajikan daftar tujuh masalah, yang dikenal sebagai tujuan Millennium. Untuk keputusan masing-masing dari mereka ditawari hadiah dari $ 1 juta.

Satu-satunya masalah, yang berada di antara dua daftar teka-teki, selama berabad-abad tidak memberikan istirahat untuk para ilmuwan, menjadi hipotesis Riemann. Dia masih menunggu keputusannya.

informasi biografis singkat

Georg Friedrich Bernhard Riemann lahir pada tahun 1826 di Hanover, dalam sebuah keluarga besar seorang pendeta miskin, dan hidup baru berusia 39 tahun. Dia berhasil menerbitkan 10 makalah. Namun, selama hidup Riemann ia dianggap sebagai penerus dari gurunya Johann Gauss. Pada 25 tahun ilmuwan muda membela tesisnya "Yayasan teori fungsi yang kompleks variabel." Kemudian ia merumuskan hipotesis, yang menjadi terkenal.

bilangan prima

Matematika datang ketika manusia belajar untuk menghitung. Kemudian muncul ide pertama dari nomor, yang kemudian mencoba untuk mengklasifikasikan. Ia telah mengamati bahwa beberapa dari mereka memiliki sifat umum. Secara khusus, di antara bilangan m. E. Mereka yang digunakan dalam perhitungan (penomoran) atau jumlah yang ditunjuk item telah dialokasikan kelompok tersebut yang dibagi hanya oleh satu dan diri mereka sendiri. Mereka disebut sederhana. Bukti elegan dari teorema himpunan tak terhingga dari angka yang diberikan oleh Euclid dalam "Elements" nya. Pada saat ini, kami terus pencarian mereka. Secara khusus, yang terbesar dari sejumlah diketahui ² 74207281 - 1.

Rumus Euler

Seiring dengan gagasan tak terhingga banyaknya bilangan prima Euclid didefinisikan dan teorema yang kedua hanya mungkin faktorisasi. Menurut itu setiap bilangan bulat positif adalah produk dari hanya satu set bilangan prima. Pada tahun 1737, matematikawan besar Jerman Leonhard Euler menyatakan pertama Euclid Teorema pada infinity dari rumus di bawah ini.

Hal ini disebut fungsi zeta, di mana s - konstan dan p adalah semua nilai-nilai sederhana. Dari itu langsung diikuti dan persetujuan dari keunikan perluasan Euclid.

fungsi zeta Riemann

Rumus Euler pada pemeriksaan lebih dekat sangat luar biasa, seperti yang diberikan oleh rasio antara sederhana dan bilangan bulat. Setelah semua, di sisi kirinya dikalikan tak terhingga banyaknya ekspresi yang hanya bergantung pada sederhana, dan dalam jumlah yang tepat berhubungan dengan semua bilangan bulat positif.

Riemann melanjutkan Euler. Dalam rangka untuk mencari kunci untuk masalah distribusi angka-angka, diusulkan untuk menentukan rumus untuk kedua variabel nyata dan kompleks. Dialah yang kemudian dikenal sebagai fungsi zeta Riemann. Pada tahun 1859 ilmuwan menerbitkan sebuah artikel berjudul "Pada jumlah bilangan prima yang tidak melebihi nilai yang telah ditentukan", yang menyimpulkan semua ide-ide mereka.

Riemann mengusulkan penggunaan sejumlah Euler, konvergen untuk semua s nyata> 1. Jika rumus yang sama digunakan untuk s kompleks, maka seri ini akan konvergen untuk setiap nilai dari variabel dengan bagian nyata lebih besar dari 1. Riemann menggunakan analisis lanjutan dari prosedur dengan memperluas definisi zeta (s) untuk semua bilangan kompleks, tapi "melempar" unit. Itu tidak mungkin, karena jika s = 1 fungsi zeta meningkat hingga tak terbatas.

arti praktis

Timbul pertanyaan: apa fungsi zeta menarik dan penting, yang penting dalam karya Riemann pada hipotesis nol? Seperti yang Anda tahu, pada saat ini tidak ditemukan pola sederhana yang menggambarkan distribusi bilangan prima di antara alam. Riemann mampu mendeteksi bahwa jumlah pi (x) bilangan prima, yang tidak unggul x, dinyatakan oleh distribusi fungsi nol zeta trivial. Selain itu, hipotesis Riemann adalah kondisi yang diperlukan untuk membuktikan evaluasi sementara dari algoritma kriptografi tertentu.

Riemann hipotesis

Salah satu formulasi pertama masalah matematika ini, tidak terbukti sampai hari ini, adalah: sepele fungsi 0 zeta - bilangan kompleks dengan bagian nyata sama dengan ½. Dengan kata lain, mereka diatur pada satu garis lurus Re s = ½.

Ada juga Riemann hipotesis umum, yang merupakan pernyataan yang sama, tetapi untuk generalisasi dari zeta-fungsi, yang disebut Dirichlet (lihat. Foto di bawah ini) L-fungsi.

Dalam rumus χ (n) - karakter numerik (mod k).

Pernyataan Riemann adalah yang disebut hipotesis nol, seperti yang telah diverifikasi untuk konsistensi dengan data sampel yang ada.

Seperti yang saya berpendapat Riemann

Catatan matematikawan Jerman pada awalnya dirumuskan cukup santai. Faktanya adalah bahwa pada saat itu ilmuwan itu akan membuktikan teorema pada distribusi bilangan prima, dan dalam konteks ini, hipotesis ini tidak banyak berpengaruh. Namun, perannya dalam mengatasi berbagai masalah lain sangat besar. Itulah mengapa hipotesis Riemann untuk saat ini banyak ilmuwan mengakui penting dari masalah matematika terbukti.

Seperti yang telah dikatakan, untuk membuktikan teorema pada distribusi hipotesis Riemann penuh tidak diperlukan, dan cukup logis membuktikan bahwa bagian nyata dari setiap non-sepele nol dari fungsi zeta adalah antara 0 dan 1. Properti ini menyiratkan bahwa jumlah semua 0-m fungsi zeta yang muncul dalam formula yang tepat di atas, - hingga konstan. Untuk nilai besar x, itu semua bisa hilang. Satu-satunya anggota dari rumus, yang akan tetap tidak berubah bahkan pada x sangat tinggi, x adalah dirinya. Sisa istilah kompleks dibandingkan dengan itu asimtotik menghilang. Dengan demikian, jumlah tertimbang cenderung x. Fakta ini dapat dianggap sebagai bukti kebenaran bilangan prima teorema. Dengan demikian, angka nol dari fungsi Riemann zeta muncul peran khusus. Hal ini untuk membuktikan bahwa nilai-nilai ini tidak dapat memberikan kontribusi yang signifikan dengan rumus ekspansi.

pengikut Riemann

Kematian tragis dari tuberkulosis dicegah ilmuwan membawa ke akhir logis dari program. Namun, ia mengambil tongkat dari W-F. de la Vallee Poussin dan Zhak Adamar. Independen satu sama lain mereka telah ditarik bilangan prima teorema. Hadamard dan Poussin berhasil membuktikan bahwa semua fungsi 0 zeta trivial berada dalam band kritis.

Berkat kerja dari para ilmuwan ini, cabang baru matematika - teori analisis angka. Kemudian, peneliti lain telah menerima bukti lebih primitif sedikit dari teorema bekerja di Roma. Secara khusus, Pal Erdös dan Atle Selberg telah dibuka bahkan mengkonfirmasikan rantai yang sangat kompleks logika, tidak memerlukan penggunaan analisis kompleks. Namun, pada saat ini gagasan Riemann oleh beberapa teorema penting telah terbukti, termasuk pendekatan dari banyak fungsi nomor teori. Sehubungan dengan ini kerja baru Erdös dan Atle Selberg hampir apapun tidak terpengaruh.

Salah satu bukti yang paling sederhana dan paling indah dari masalah telah ditemukan pada tahun 1980 oleh Donald Newman. Hal ini didasarkan pada Cauchy teorema terkenal.

Terancam jika hipotesis Riemann adalah dasar dari kriptografi modern yang

enkripsi data muncul dengan penampilan karakter, atau lebih tepatnya, mereka sendiri dapat dianggap sebagai kode pertama. Pada saat ini, ada kecenderungan baru kriptografi digital, yang bergerak dalam pengembangan algoritma enkripsi.

Sederhana dan "semisimple" jumlah m. E. Mereka yang hanya dibagi menjadi dua nomor lain dari kelas yang sama, merupakan dasar dari sistem kunci publik, yang dikenal sebagai RSA. Ini memiliki berbagai aplikasi. Secara khusus, digunakan dalam generasi tanda tangan elektronik. Jika kita berbicara dalam hal "teko" tersedia, hipotesis Riemann menegaskan keberadaan sistem dalam distribusi bilangan prima. Dengan demikian, secara signifikan mengurangi resistensi kunci kriptografi, yang tergantung keamanan transaksi online di e-commerce.

masalah matematika yang belum terpecahkan lainnya

Artikel lengkap bernilai mencurahkan beberapa kata untuk tugas-tugas lain dari milenium. Ini termasuk:

• Kesetaraan kelas P dan NP. Masalahnya dirumuskan sebagai berikut: jika jawaban positif untuk pertanyaan yang diberikan diverifikasi dalam waktu polinomial, maka apakah benar bahwa ia sendiri jawaban atas pertanyaan ini dapat ditemukan dengan cepat?
• Hodge dugaan. Secara sederhana dapat dinyatakan sebagai berikut: untuk beberapa jenis proyektif aljabar manifold (spasi) siklus Hodge adalah kombinasi dari objek yang memiliki interpretasi geometris, siklus aljabar yaitu ...
• dugaan Poincaré. Ini adalah satu-satunya terbukti pada masalah saat milenium. Menurut itu setiap objek tiga dimensi yang memiliki sifat khusus dari lingkup 3-dimensi, bola harus akurat terhadap deformasi.
• Persetujuan kuantum Yang - teori Mills. Kita perlu membuktikan bahwa teori kuantum, yang diajukan oleh para ilmuwan tersebut ke ruang R ^4, ada cacat 0-massa untuk kalibrasi sederhana dari kelompok yang kompak G.
• Hipotesis dari Birch - Swinnerton-Dyer. Ini adalah masalah lain yang relevan dengan kriptografi. Ini menyangkut kurva elips.
• Masalah keberadaan dan kelancaran solusi dari Navier - Stokes.

Sekarang Anda tahu hipotesis Riemann. Dalam istilah sederhana, kami telah merumuskan dan beberapa tujuan lain dari milenium. Fakta bahwa mereka akan diselesaikan atau terbukti bahwa mereka tidak memiliki solusi - itu masalah waktu. Dan ini tidak mungkin harus menunggu terlalu lama, karena matematika semakin menggunakan kekuatan komputasi dari komputer. Namun, tidak semuanya tunduk seni dan untuk memecahkan masalah ilmiah terutama membutuhkan intuisi dan kreativitas.