Sifat logaritma, atau yang mengejutkan ...

Kebutuhan akan perhitungan segera terjadi pada seseorang, begitu ia bisa memberikan penilaian kuantitatif terhadap benda-benda di sekitarnya. Dapat diasumsikan bahwa logika evaluasi kuantitatif secara bertahap menyebabkan kebutuhan akan perhitungan seperti "penambahan-pengurangan". Kedua tindakan dasar ini pada awalnya bersifat dasar - semua manipulasi lainnya dengan angka, dikenal sebagai perkalian, pembagian, eksponensiasi , dll. - Ini adalah "mekanisasi" sederhana dari beberapa algoritma komputasi, berdasarkan aritmatika yang paling sederhana - "tambahkan-kurangi". Apapun itu, tapi penciptaan algoritma untuk perhitungan adalah pencapaian utama pemikiran, dan penulis mereka selamanya meninggalkan jejak mereka dalam memori umat manusia.

Enam atau tujuh abad yang lalu, di bidang navigasi laut dan astronomi, kebutuhan akan volume komputasi yang besar meningkat, yang tidak mengherankan, karena Ini adalah Abad Pertengahan yang dikenal dengan perkembangan navigasi dan astronomi. Tepatnya sesuai dengan ungkapan "kebutuhan menghasilkan sebuah kalimat" dari beberapa ahli matematika hebat, gagasan tersebut terbelah - untuk menggantikan operasi yang sangat sulit mengalikan dua angka dengan tambahan sederhana (gagasan untuk mengganti pembagian dengan pengurangan dianggap secara dual way). Versi kerja dari sistem perhitungan yang baru diuraikan pada tahun 1614 dalam karya John Napier dengan judul yang sangat luar biasa "Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan". Tentu saja, perbaikan lebih lanjut dari sistem yang baru berlanjut, namun sifat dasar logaritma ditata oleh Neper. Gagasan tentang sistem komputasi yang menggunakan logaritma adalah bahwa jika serangkaian bilangan membentuk perkembangan geometrik, logaritma mereka juga membentuk kemajuan, tapi sebuah aritmatika. Dengan adanya tabel yang telah disusun sebelumnya, teknik perhitungan baru menyederhanakan perhitungan, dan penguasa logaritma pertama (1620 ) menjadi kalkulator kuno dan sangat penting pertama, alat teknik yang sangat diperlukan.

Bagi pelopor, jalan selalu bergelombang. Awalnya, basis logaritma tidak berhasil dilakukan, dan keakuratan perhitungannya tidak tinggi, namun pada tahun 1624 tabel revisi dengan basis desimal dipublikasikan. Sifat-sifat logaritma mengikuti dari inti definisi: logaritma bilangan b adalah bilangan C, yang, sebagai kekuatan dasar logaritma (bilangan A), menghasilkan angka b. Varian klasik dari entri terlihat seperti ini: logA (b) = C - apa yang dibaca seperti ini: logaritma b, pada basis A, adalah angka C. Untuk melakukan tindakan yang menggunakan bilangan logaritma tidak cukup biasa, Anda perlu mengetahui seperangkat aturan yang dikenal sebagai "properti Logaritma ". Pada prinsipnya, semua peraturan memiliki implikasi yang sama - bagaimana menambahkan, mengurangi dan mengubah logaritma. Sekarang kita akan belajar bagaimana melakukannya.

Nol dan satuan logaritma

1. logA (1) = 0, logaritma dari bilangan 1 sama dengan 0 untuk alasan apapun - ini adalah konsekuensi langsung untuk menaikkan bilangan menjadi nol.

2. logA (A) = 1, logaritma bilangan yang sama dengan basisnya adalah 1 juga merupakan kebenaran yang terkenal untuk nomor mana pun pada tingkat pertama.

Penambahan dan pengurangan logaritma

3. logA (m) + logA (n) = logA (m * n) - jumlah logaritma dari beberapa nomor sama dengan logaritma produk mereka.

4. logA (m) - logA (n) = logA (m / n) - perbedaan antara logaritma angka, sama dengan yang sebelumnya, sama dengan logaritma rasio angka-angka ini.

5. logA (1 / n) = - logA (n), logaritma bilangan invers sama dengan logaritma bilangan ini dengan tanda minus. Sangat mudah untuk melihat bahwa ini adalah hasil dari ekspresi sebelumnya 4 untuk m = 1.

Mudah untuk melihat bahwa aturan 3-5 mengasumsikan di kedua bagian kesetaraan basis logaritma yang sama.

Eksponen dalam ekspresi logaritmik

6. logA (mn) = n * logA (m), logaritma dari sejumlah n sama dengan logaritma bilangan ini dikalikan dengan eksponen derajat n.

7. log (Ac) (b) = (1 / c) * logA (b), yang dibaca sebagai "logaritma dari bilangan b, jika basis berbentuk Ac, sama dengan produk logaritma b dengan basis A dan kebalikan dari c".

Rumus untuk mengubah dasar logaritma

8. logA (b) = logC (b) / logc (A), logaritma dari bilangan b dengan basis A pada pergi ke basis C dihitung sebagai logaritma parsial b dengan basis C dan logaritma dengan basis C dari bilangan yang sama dengan basis A sebelumnya, dan Dengan tanda minus.

Logaritma dan sifat-sifat di atas memungkinkannya, dengan penerapan yang tepat, untuk menyederhanakan perhitungan array numerik besar, sehingga mengurangi waktu perhitungan numerik dan memberikan akurasi yang dapat diterima.

Sama sekali tidak mengherankan bahwa di bidang sains dan teknologi, sifat logaritma angka digunakan untuk representasi fenomena fisik yang lebih alami. Sebagai contoh, diketahui secara luas untuk menggunakan nilai relatif - desibel untuk mengukur intensitas suara dan cahaya dalam fisika, magnitudo bintang mutlak dalam astronomi, pH dalam kimia, dll.

Efisiensi perhitungan logaritmik mudah dilakukan jika seseorang mengambil, misalnya, dan mengalikan 3 digit lima digit "secara manual" (dalam kolom), dengan menggunakan tabel logaritma pada selembar kertas dan menggunakan penggaris logaritmik. Cukuplah untuk mengatakan bahwa dalam kasus terakhir, perhitungan akan memakan waktu sekitar 10 detik. Yang paling mengejutkan adalah bahwa pada kalkulator modern penghitungan ini akan memakan waktu tidak lama lagi.