Bilangan kompleks. Nilai dan Evolusi "nilai-nilai imajiner"

Angka-angka - objek matematika dasar yang dibutuhkan untuk perhitungan yang berbeda dan perhitungan. Set nilai digital alami, integer, rasional dan irasional mendefinisikan pluralitas disebut bilangan real. Tapi ada juga kategori cukup tidak biasa - "jumlah imajiner" bilangan kompleks didefinisikan oleh René Descartes sebagai Dan salah satu ahli matematika terkemuka abad kedelapan belas Leonhard Euler diusulkan untuk menunjuk mereka huruf i dari kata Imaginare Perancis (imajiner). Apa bilangan kompleks?

Disebut ekspresi dari bentuk a + bi, di mana a dan b adalah bilangan real, dan saya merupakan indikator digital dari nilai khusus yang persegi adalah -1. Operasi pada bilangan kompleks dilakukan dengan aturan yang sama seperti berbagai operasi matematika pada polinomial. Kategori matematika ini tidak mewakili hasil dari setiap pengukuran atau perhitungan. Untuk ini cukup bilangan real. Mengapa, kemudian, yang mereka butuhkan?

bilangan kompleks sebagai konsep matematika, diperlukan karena fakta bahwa beberapa persamaan dengan koefisien nyata memiliki solusi di bidang nomor "biasa". Oleh karena itu, untuk memperluas ruang lingkup pemecahan kesenjangan muncul kebutuhan untuk memperkenalkan kategori matematika baru. bilangan kompleks memiliki abstrak terutama teoritis mungkin untuk memecahkan persamaan ini sebagai ² x 1 = 0. Perlu dicatat bahwa, meskipun formalitas tampak jelas kategori nomor ini aktif dan digunakan secara luas, misalnya, untuk solusi praktis yang berbeda masalah teori elastisitas, teknik elektro, aerodinamis dan hydromechanics, fisika atom dan disiplin ilmu lainnya.

Modul dan argumen dari bilangan kompleks yang digunakan dalam jadwal konstruksi. bentuk tulisan yang disebut trigonometri. Selain itu, interpretasi geometris dari angka-angka ini semakin memperluas ruang lingkup aplikasi mereka. Menjadi mungkin untuk menggunakannya untuk berbagai komputasi peta.

Matematika telah datang jauh dari bilangan sederhana untuk sistem yang terintegrasi yang kompleks dan fungsi mereka. Mengenai hal ini dapat menulis tutorial terpisah. Di sini kita melihat hanya beberapa aspek evolusi dari teori bilangan, membuat jelas semua sejarah dan ilmiah latar belakang pemikiran dari kategori matematika ini.

matematika Yunani dianggap "benar" hanya bilangan, yang dapat digunakan untuk menghitung apa-apa. Sudah di milenium kedua SM. e. Mesir kuno dan Babilonia dalam berbagai perhitungan praktis secara aktif digunakan fraksi. Tonggak penting berikutnya dalam pengembangan matematika adalah munculnya angka negatif di Cina kuno dua ratus tahun sebelum era kita. Mereka juga digunakan oleh matematikawan Yunani kuno Diophantus, yang tahu aturan operasi sederhana pada mereka. Dengan bantuan angka negatif, menjadi mungkin untuk menggambarkan berbagai perubahan nilai, tidak hanya pada bidang positif.

Pada abad ketujuh Masehi, itu jelas menetapkan bahwa akar kuadrat dari angka positif selalu memiliki dua nilai - selain positif, juga negatif. Dari yang terakhir untuk mengekstrak akar kuadrat dari yang biasa metode aljabar dari waktu itu dianggap mustahil: tidak ada nilai seperti x untuk x ² = ─ 9. Untuk waktu yang lama itu tidak masalah. Barulah pada abad keenam belas, ketika ada dan telah aktif belajar persamaan kubik, kebutuhan untuk mengekstrak akar kuadrat dari angka negatif, seperti dalam rumus untuk solusi dari ekspresi tersebut tidak hanya berisi kubus, tetapi juga akar kuadrat.

Formula ini adalah kuat, jika persamaan memiliki paling banyak satu akar nyata. Dalam kasus kehadiran dalam persamaan tiga akar nyata untuk menyembuhkan mereka diperoleh dengan jumlah nilai negatif. Ternyata bahwa jalan menuju pemulihan berjalan melalui tiga akar yang mustahil dari sudut pandang matematika dari waktu operasi.

Untuk penjelasan dari paradoks dihasilkan algebraists Italia J. Cardano diusulkan untuk memperkenalkan kategori baru dari sifat yang tidak biasa dari angka-angka, yang disebut kompleks. Aku ingin tahu apa yang dia Cardano menganggap mereka tidak berguna dan melakukan segalanya untuk menghindari menerapkan mereka untuk kategori matematika yang diusulkan. Tapi sudah di 1572 buku muncul aljabar lain Italia Bombelli, yang aturan rinci untuk operasi pada bilangan kompleks.

Sepanjang abad ketujuh belas melanjutkan pembahasan sifat matematika dari angka data dan kemampuan interpretasi geometris mereka. Juga secara bertahap dikembangkan dan teknik bekerja dengan mereka membaik. Dan pada pergantian abad ke-17 dan ke-18, teori umum bilangan kompleks diciptakan. Kontribusi yang sangat besar untuk pengembangan dan peningkatan teori fungsi dari variabel kompleks diperkenalkan Rusia dan ilmuwan Soviet. N. I. Muskhelishvili terlibat dalam penerapannya terhadap masalah-masalah teori elastisitas, Keldysh dan Lavrentiev bilangan kompleks telah digunakan dalam bidang hidro dan aerodinamis, dan Vladimir Bogolyubov - dalam teori medan kuantum.