Yang bersinggungan dengan lingkaran? Sifat dari bersinggungan dengan lingkaran. Bersinggungan umum untuk dua lingkaran

Secants, garis singgung - semua ini ratusan kali terdengar pada pelajaran geometri. Tapi masalah sekolah balik, lulus tahun ini, dan semua pengetahuan ini dilupakan. Apa yang harus saya ingat?

esensi

Istilah "bersinggungan dengan lingkaran" tanda, mungkin, segala sesuatu. Tetapi tidak mungkin bahwa semua akan cepat merumuskan definisi. Sementara itu disebut garis singgung berbaring pada bidang yang sama seperti lingkaran yang memotong itu hanya pada satu titik. segudang mereka mungkin ada, tetapi mereka semua memiliki sifat yang sama, yang akan dibahas di bawah. Seperti yang Anda duga, titik kontak disebut tempat di mana lingkaran dan garis berpotongan. Dalam setiap kasus, itu adalah salah satu, jika ada lebih, maka akan transversal.

Sejarah penemuan dan studi

Konsep singgung muncul di zaman kuno. Pembangunan jalur ini untuk lingkaran pertama, dan kemudian ke elips, parabola dan hiperbola dengan penggaris dan kompas diadakan masih dalam tahap awal pengembangan geometri. Tentu saja, sejarah belum diawetkan nama penemu, tetapi jelas bahwa bahkan pada waktu itu orang baik sifat-sifat bersinggungan diketahui lingkaran.

Di zaman modern kepentingan dalam fenomena ini pecah lagi - mulai babak baru studi konsep ini bersamaan dengan pembukaan kurva baru. Dengan demikian, Galileo memperkenalkan konsep cycloid dan Fermat dan Descartes membangun garis singgung untuk itu. Adapun kalangan, tampaknya, adalah untuk rahasia kuno yang tersisa di daerah ini.

sifat

Radius ditarik ke titik persimpangan akan tegak lurus terhadap garis. ini utama, tapi bukan satu-satunya properti yang bersinggungan dengan lingkaran. Fitur lain yang penting sudah termasuk dua lurus. Jadi, melalui satu titik, yang terletak di luar lingkaran, adalah mungkin untuk menarik dua garis singgung, dan panjang mereka adalah sama. Ada teorema lain tentang hal ini, tetapi jarang diadakan dalam rangka program sekolah standar, tapi sangat berguna untuk memecahkan masalah-masalah tertentu. Ini berjalan sebagai berikut. Dari satu titik terletak di luar lingkaran, menggambar garis singgung dan garis potong untuk itu. segmen dibentuk AB, AC dan AD. A - persimpangan garis, B titik singgung, C dan D - persimpangan. Dalam hal ini, persamaan berikut berlaku: panjang bersinggungan dengan lingkaran, persegi, sama dengan produk dari segmen AC dan AD.

Dari uraian di atas, ada konsekuensi penting. Untuk setiap titik lingkaran, Anda dapat membangun singgung, tapi hanya satu. Bukti ini cukup sederhana: dalam teori ke itu tegak lurus dari jari-jari, kita mengetahui bahwa membentuk segitiga tidak bisa eksis. Dan ini berarti bahwa garis singgung - satu-satunya.

bangunan

Di antara tugas-tugas lain dalam geometri adalah kategori khusus, sebagai suatu peraturan, tidak dicintai oleh siswa dan mahasiswa. Untuk mengatasi tugas dari kategori ini hanya membutuhkan kompas dan penggaris. Ini adalah tugas dari bangunan. Di sana mereka membangun garis singgung.

Jadi, mengingat lingkaran dan titik tergeletak di luar perbatasannya. Dan Anda perlu untuk menavigasi melalui mereka bersinggungan. Bagaimana Anda melakukannya? Pertama-tama, Anda perlu untuk menghabiskan interval antara pusat lingkaran O dan set point. Kemudian, dengan bantuan kompas harus membagi menjadi dua. Untuk melakukan ini, Anda harus mengatur radius - sedikit lebih dari setengah jarak antara pusat lingkaran dan titik awal. Kemudian Anda perlu untuk membangun dua busur berpotongan. Jari-jari pada perubahan tidak harus kompas, dan pusat setiap sisi lingkaran akan menjadi titik awal, dan O, masing-masing. Tempat-tempat busur persimpangan perlu menghubungkan bahwa bagian dipotong setengah. Tanyakan pada radius kompas sama dengan jarak. Lebih lanjut, dengan pusat di persimpangan untuk membangun lingkaran lain. Ini akan didasarkan pada kedua titik awal, dan O. Dalam hal ini, akan ada dua persimpangan dengan masalah ini dalam lingkaran. Bahwa mereka akan menjadi titik kontak untuk titik awalnya ditentukan.

menarik

Hal ini membangun bersinggungan dengan lingkaran menyebabkan kelahiran kalkulus diferensial. Karya pertama tentang hal ini diterbitkan oleh matematikawan Jerman yang terkenal Leibniz. Ini disediakan untuk kemungkinan menemukan maxima, minima dan garis singgung, terlepas dari jumlah pecahan dan irasional. Nah, sekarang digunakan untuk berbagai perhitungan lainnya.

Selain itu, bersinggungan dengan lingkaran yang terkait dengan rasa tangen geometris. Ini adalah dari ini, dan namanya berasal. Diterjemahkan dari tangens Latin - "singgung". Dengan demikian, konsep ini tidak hanya geometri dan kalkulus diferensial, tetapi dengan trigonometri.

dua lingkaran

Tidak selalu bersinggungan zatragivet hanya satu angka. Jika Anda dapat menghabiskan banyak sekali baris untuk satu lingkaran, maka mengapa tidak sebaliknya? Mungkin. Itu hanya masalah dalam kasus ini serius rumit, karena bersinggungan dengan dua lingkaran tidak dapat melewati setiap titik, dan posisi relatif semua angka-angka ini bisa sangat yang berbeda.

Jenis dan varietas

Ketika datang ke dua lingkaran dan satu atau lebih baris, kemudian bahkan jika Anda tahu bahwa itu tentang, tidak segera jelas bagaimana semua potongan-potongan ini disusun dalam hubungan satu sama lain. Atas dasar ini, ada beberapa varietas. Jadi, lingkaran mungkin memiliki satu atau dua titik umum, atau tidak sama sekali. Dalam kasus pertama, mereka akan tumpang tindih, dan yang kedua - untuk menyentuh. Dan di sini adalah dua varietas. Jika satu lingkaran, seperti yang tertanam di kedua, sentuhan disebut internal yang jika tidak - maka di luar. Memahami posisi relatif dari buah tidak bisa hanya didasarkan pada gambar, tetapi memiliki informasi tentang jumlah jari-jari mereka dan jarak antara pusat-pusat mereka. Jika kedua nilai adalah sama, maka lingkaran menyentuh. Jika dulu lebih - berpotongan dan sebaliknya - tidak memiliki poin umum.

Begitu pula dengan garis lurus. Untuk setiap dua lingkaran yang tidak memiliki poin umum dapat
membangun empat garis singgung. Dua dari mereka akan tumpang tindih antara angka, mereka disebut internal. Beberapa lainnya - eksternal.

Jika kita berbicara tentang lingkaran, yang memiliki satu titik kesamaan, masalah serius disederhanakan. Faktanya adalah bahwa dalam setiap pengaturan bersama, dalam hal ini tangen mereka akan memiliki hanya satu. Dan itu akan melewati titik persimpangan. Sehingga bangunan tidak akan menyebabkan kesulitan.

Jika angka-angka ini dua titik persimpangan, maka mereka dapat dibangun garis singgung dengan lingkaran sebagai satu, dan yang kedua, tetapi hanya di luar. Solusi untuk masalah ini mirip dengan apa yang dibahas kemudian.

Memenuhi tantangan

Kedua singgung internal dan eksternal untuk dua lingkaran di gedung yang tidak begitu sederhana, meskipun, dan masalah ini diselesaikan. Fakta bahwa pola tambahan yang digunakan selama ini, sehingga tahu seperti metode sendiri Hal ini sangat bermasalah. Jadi, diberikan dua lingkaran dengan jari-jari yang berbeda dan berpusat O1 dan O2. Bagi mereka, kebutuhan untuk membangun dua pasang garis singgung.

Pertama-tama, tentang pusat lingkaran yang lebih besar untuk membangun mendukung. Pada saat yang sama pada kompas harus mengatur perbedaan antara jari-jari kedua tokoh asli. Dari pusat tangen lingkaran yang lebih kecil dengan tambahan dibangun. Setelah itu dari O1 dan O2 diadakan perependikulyary langsung ini untuk persimpangan dengan angka yang asli. Sebagai berikut dari sifat dasar dari tangen, poin yang diperlukan ditemukan pada kedua lingkaran. masalah diselesaikan, setidaknya sebagian pertama.

Dalam rangka membangun garis singgung internal yang harus memecahkan hampir masalah yang sama. Sekali lagi, kita perlu seorang tokoh pembantu, tapi kali ini radius adalah sama dengan jumlah dari aslinya. Baginya membangun singgung dari pusat salah satu dari kalangan ini. Kursus lebih lanjut dari keputusan dapat dipahami dari contoh sebelumnya.

Bersinggungan dengan lingkaran, atau bahkan dua atau lebih - tidak seperti tugas yang sulit. Tentu saja, matematikawan telah lama berhenti untuk memecahkan masalah yang sama secara manual dan percaya menghitung program khusus. Tapi jangan berpikir bahwa sekarang belum tentu dapat melakukannya sendiri, karena untuk formulasi yang benar dari tugas untuk komputer untuk melakukan banyak dan memahami. Sayangnya, ada kekhawatiran bahwa setelah transisi akhir ke bentuk uji masalah kontrol pengetahuan tentang konstruksi akan menyebabkan siswa lebih dan lebih banyak kesulitan.

Adapun menemukan garis singgung umum untuk kalangan yang lebih, itu tidak selalu mungkin, bahkan jika mereka terletak pada bidang yang sama. Namun dalam beberapa kasus adalah mungkin untuk menemukan baris seperti itu.

contoh kehidupan

Bersinggungan umum untuk dua lingkaran sering ditemukan dalam praktek, meskipun tidak selalu jelas. Konveyor, sistem modular, transmisi sabuk puli, ketegangan benang di mesin jahit, tapi bahkan hanya sebuah rantai sepeda - semua contoh kehidupan. Jadi jangan berpikir bahwa masalah geometri tetap hanya dalam teori: dalam rekayasa, fisika, konstruksi dan banyak daerah lainnya dalam penggunaan praktis.