The Russell Paradox: latar belakang, contoh, kata-kata

Russell paradoks adalah dua antinomy logis saling tergantung.

Dua bentuk paradoks Russell

Bentuk yang paling sering dibahas dari kontradiksi dalam logika set. Beberapa set tampaknya para anggota itu sendiri, dan lain-lain - tidak ada. Himpunan semua set itu sendiri set, sehingga tampaknya mengacu pada dirinya sendiri. Null atau kosong, bagaimanapun, tidak harus menjadi anggota itu sendiri. Oleh karena itu, himpunan semua set, sebagai nol tidak termasuk ke dalam dirinya. Paradoks muncul ketika pertanyaan apakah himpunan anggota itu sendiri. Hal ini dimungkinkan jika dan hanya jika tidak.

bentuk paradoks lain adalah kontradiksi mengenai properti. Beberapa sifat, tampaknya merujuk pada diri mereka sendiri, sementara yang lain tidak. properti menjadi properti itu sendiri properti, sementara properti baik itu kucing tidak. Pertimbangkan properti memiliki properti yang bukan milik dia. apakah itu berlaku untuk dirinya sendiri? Sekali lagi, salah satu asumsi harus sebaliknya. Paradoks itu dinamai untuk menghormati Bertrand Russell (1872-1970), yang menemukannya pada tahun 1901.

cerita

Pembukaan Russell terjadi selama karyanya pada "Prinsip Matematika". Meskipun ia menemukan paradoks secara mandiri, ada bukti bahwa matematikawan lain dan pengembang dari teori himpunan, termasuk Ernst Zermelo dan David Hilbert, menyadari versi pertama dari kontradiksi depannya. Russell, bagaimanapun, adalah yang pertama yang dibahas secara rinci paradoks dalam karya-karyanya diterbitkan, pertama kali mencoba untuk merumuskan solusi dan yang pertama untuk sepenuhnya menghargai maknanya. Seluruh bab "Prinsip" dikhususkan untuk pembahasan masalah ini, dan aplikasi ini dikhususkan untuk teori jenis, yang Russell diusulkan sebagai solusi.

Russell menemukan "paradoks pembohong', mengingat teori himpunan Cantor, mengatakan bahwa kekuatan set setiap lebih kecil dari himpunan himpunan bagian nya. Setidaknya dalam domain harus banyak subset karena ada unsur di dalamnya, jika salah satu bagian dari setiap elemen diatur hanya berisi elemen ini. Selanjutnya, Cantor membuktikan bahwa jumlah unsur yang tidak bisa sama dengan jumlah himpunan bagian. Jika ada nomor yang sama, itu akan ada fitur ƒ yang akan menampilkan elemen pada himpunan bagian mereka. Pada saat yang sama dapat dibuktikan bahwa ini adalah mustahil. Beberapa item dapat ditampilkan pada subset fungsi ƒ yang mengandung mereka, sementara yang lain mungkin tidak.

Pertimbangkan subset dari unsur-unsur yang tidak termasuk gambar mereka, di mana mereka menampilkan ƒ. Hal ini sendiri merupakan bagian dari elemen, dan karena itu, fungsi ƒ akan menampilkannya pada elemen dalam domain. Masalahnya adalah bahwa kemudian muncul pertanyaan, apakah elemen ini milik subset yang akan menampilkan ƒ. Ini hanya mungkin jika itu bukan milik. paradoks Russell dapat dilihat sebagai contoh dari baris yang sama penalaran, hanya disederhanakan. Apa yang lebih - set atau himpunan bagian dari himpunan? Tampaknya bahwa harus ada lebih set, karena semua himpunan bagian dari set itu sendiri. Tetapi jika teorema Cantor adalah benar, maka harus ada lebih himpunan bagian. Russell dianggap hanya menampilkan set pada diri mereka sendiri dan diterapkan pendekatan kantoriansky mempertimbangkan himpunan semua elemen ini, di luar satu set di mana mereka ditampilkan. Menampilkan Russell menjadi himpunan semua set, non.

kesalahan Frege

"Paradoks pembohong" memiliki dampak yang mendalam pada sejarah perkembangan teori set. Dia menunjukkan bahwa konsep universal set sangat bermasalah. Dia juga mempertanyakan gagasan bahwa untuk setiap kondisi yang ditentukan atau predikat dapat mengasumsikan adanya pluralitas hanya hal-hal yang memenuhi kondisi ini. Paradoks pilihan tentang sifat - perpanjangan alami untuk versi set - menimbulkan keraguan serius apakah mungkin untuk berdebat tentang keberadaan tujuan properti atau sesuai universal setiap ditentukan oleh kondisi, atau predikat.

Segera kontradiksi dan masalah dalam pekerjaan ahli logika ditemukan, filsuf dan matematikawan yang telah membuat asumsi yang sama. Pada tahun 1902, Russell menemukan bahwa varian dari paradoks dapat dinyatakan dalam sistem logis, yang dikembangkan di Volume I "Yayasan aritmatika" Gottlob Frege, salah satu karya utama pada logika akhir XIX - awal abad XX. Dalam filsafat Frege banyak dipahami sebagai "ekstensi" atau konsep "nilai-range". Konsep yang paling dekat dengan orang-orang dari berkorelasi. Mereka diharapkan ada untuk setiap kondisi atau predikat yang diberikan. Dengan demikian, ada konsep satu set, yang tidak jatuh di bawah konsep yang menentukan. Ada juga kelas didefinisikan oleh konsep ini, dan itu adalah tunduk mendefinisikan konsep hanya jika tidak.

Russell menulis kepada Frege tentang konflik ini di Juni 1902 Correspondence telah menjadi salah satu yang paling menarik dan berbicara tentang dalam sejarah logika. Frege segera mengakui konsekuensi bencana dari paradoks. Dia mencatat, bagaimanapun, bahwa versi kontroversi mengenai properti di filsafatnya itu diselesaikan dengan membedakan antara konsep tingkat.

Gagasan Frege dipahami sebagai transisi dari argumen dari fungsi TRUE. Konsep-konsep tingkat pertama mengambil sebagai argumen objek dari konsep tingkat kedua mengambil sebagai argumen untuk fungsi-fungsi ini, dan sebagainya. Dengan demikian, konsep tidak pernah bisa mengambil sendiri sebagai argumen, dan paradoks dalam hal sifat-sifat tidak dapat dirumuskan. Namun demikian set, ekspansi atau konsep Frege dipahami sebagai mengacu pada jenis logis yang sama seperti yang dari semua benda lainnya. Maka untuk setiap set ada pertanyaan apakah itu berada di bawah konsep mendefinisikannya.

Ketika Frege, Russell menerima surat pertama, volume kedua dari "Yayasan aritmatika" sudah selesai cetak. Dia dipaksa untuk cepat mempersiapkan sebuah aplikasi yang memberikan jawaban paradoks Russell. Contoh Frege berisi sejumlah solusi yang mungkin. Tapi dia sampai pada kesimpulan untuk melemahkan konsep abstraksi set dalam sistem logis.

Dalam bahasa aslinya, hal itu mungkin untuk menyimpulkan bahwa objek milik set jika dan hanya jika jatuh dalam konsep, mendefinisikan itu. Sistem ini direvisi hanya bisa menyimpulkan bahwa objek milik set jika dan hanya jika jatuh dalam gagasan mendefinisikan pluralitas, tapi tidak diatur dalam pertanyaan. paradoks Russell muncul.

Solusinya, bagaimanapun, tidak sepenuhnya puas dengan Frege. Dan ini adalah alasan. Beberapa tahun kemudian, bentuk yang lebih kompleks kontradiksi ditemukan sistem direvisi. Tetapi bahkan sebelum ini terjadi, Frege ditinggalkan keputusan dan tampaknya sampai pada kesimpulan bahwa pendekatan itu sama sekali tidak, dan logika yang akan harus melakukannya tanpa salah satu set.

Masih orang lain telah diusulkan, solusi alternatif yang relatif lebih sukses. Ini dibahas di bawah.

Teori jenis

Hal ini disebutkan di atas bahwa Frege adalah respon yang memadai terhadap paradoks teori himpunan di versi diformulasikan untuk properti. respon Frege didahului oleh solusi yang paling sering dibahas untuk bentuk paradoks. Hal ini didasarkan pada kenyataan bahwa sifat tunduk pada berbagai jenis dan apa jenis properti tidak pernah sama dengan item yang mengacu.

Dengan demikian, timbul bahkan tidak pertanyaan, apakah properti berlaku untuk dirinya sendiri. bahasa logis, yang memisahkan unsur-unsur hirarki tersebut, menggunakan teori jenis. Meskipun sudah digunakan oleh Frege, pertama kalinya itu sepenuhnya dijelaskan dan dibuktikan Russell dalam Lampiran "prinsip". Teori jenis lebih lengkap daripada perbedaan tingkat Frege. Dia berbagi sifat tidak hanya berbagai jenis logika, tetapi juga mengatur. ketik teori untuk menyelesaikan kontradiksi dalam paradoks Russell berikut.

Dalam rangka untuk menjadi filosofis yang memadai, adopsi dari teori jenis properti membutuhkan pengembangan teori sifat sifat sehingga bisa menjelaskan mengapa mereka tidak dapat diterapkan untuk diri mereka sendiri. Pada pandangan pertama, masuk akal untuk predikat milik mereka sendiri. Properti menjadi identitas diri, tampaknya, juga merupakan identitas diri. Properti tampaknya menjadi menyenangkan bagus. Dengan cara yang sama, rupanya, tampaknya palsu untuk mengatakan bahwa properti menjadi kucing adalah kucing.

Namun demikian, berbagai pemikir dibenarkan pembagian jenis. Russell bahkan memberikan penjelasan yang berbeda pada waktu yang berbeda dalam karirnya. Untuk bagiannya, alasan untuk pemisahan konsep yang berbeda dari tingkat Frege berasal dari teori konsep tak jenuh. Konsep seperti fungsi, pada dasarnya, tidak lengkap. Untuk memberikan nilai, mereka perlu argumen. Anda tidak hanya satu konsep bisa untuk predikat konsep dari jenis yang sama, karena masih membutuhkan argumen. Sebagai contoh, meskipun ada kemungkinan untuk mengambil akar kuadrat dari akar kuadrat dari angka, Anda tidak bisa hanya menggunakan fungsi akar kuadrat untuk fungsi akar kuadrat dan mendapatkan hasil.

Tentang sifat konservatisme

Solusi lain yang mungkin adalah sifat paradoks sifat negasi keberadaan di bawah kondisi tertentu, atau predikat baik terbentuk. Tentu saja, jika seseorang eschews sifat metafisik dari kedua unsur obyektif dan independen secara keseluruhan, jika kita mengambil nominalisme paradoks dapat dihindari sepenuhnya.

Namun, untuk memecahkan antinomy tidak perlu begitu ekstrim. Logika sistem tatanan yang lebih tinggi dikembangkan Frege dan Russell, mengandung apa yang disebut prinsip konseptual, yang menurut masing-masing terbuka formula terlepas dari bagaimana kompleks ada sebagai bagian dari properti atau konsep misalnya, hanya item yang sesuai dengan rumus. Mereka diterapkan pada atribut setiap set kemungkinan kondisi atau predikat, tidak peduli bagaimana kompleks mereka.

Namun demikian, hal itu mungkin untuk mengambil sifat metafisika lebih ketat, memberikan hak untuk keberadaan tujuan sifat sederhana, termasuk, misalnya, seperti warna merah, ketegasan, kebaikan dan sebagainya. D. Anda bahkan dapat membiarkan properti ini berlaku untuk diri mereka sendiri, seperti kebaikan bisa menjadi baik.

Dan status yang sama untuk atribut kompleks dapat dipungkiri, misalnya, seperti "sifat" sebagai memiliki tujuh belas kepala, akan ditulis di bawah air dan sejenisnya. D. Dalam hal ini, ada kondisi yang telah ditentukan tidak memenuhi properti, dipahami sebagai terpisah elemen, yang memiliki sifat sendiri yang ada. Dengan demikian seseorang dapat menyangkal keberadaan sifat sederhana menjadi-properti-yang-non diterapkan--to-diri dan menghindari paradoks dengan menerapkan sifat-sifat metafisik yang lebih konservatif.

paradoks Russell: solusi

Di atas itu mencatat bahwa pada akhir hidupnya Frege sepenuhnya ditinggalkan logika set. Ini, tentu saja, salah satu solusi untuk antinomy dalam bentuk set: penolakan sederhana dari keberadaan unsur-unsur seperti keseluruhan. Selain itu, ada pilihan populer lainnya, dasar-dasar yang ditunjukkan di bawah ini.

Teori untuk berbagai jenis

Seperti disebutkan sebelumnya, Russell bermain untuk sebuah teori yang lebih lengkap dari jenis, yang akan berbagi tidak hanya sifat atau konsep untuk berbagai jenis, tetapi juga mengatur. Russell shared ditetapkan pada sejumlah unit yang terpisah, sejumlah set benda-benda yang terpisah, dll set benda tidak dianggap, dan sejumlah pasangan - .. Set. Banyak tidak pernah menikmati jenis, memungkinkan Anda memiliki sebagai anggota itu sendiri. Oleh karena itu tidak ada himpunan semua set yang bukan anggota sendiri, karena untuk setiap set pertanyaan tentang apakah sebagai anggota, itu sendiri merupakan jenis pelanggaran. Sekali lagi, masalah di sini adalah untuk menjelaskan set metafisika untuk menjelaskan dasar-dasar filosofis divisi ke dalam jenis.

stratifikasi

Pada tahun 1937, V. V. Kuayn telah menawarkan solusi alternatif, dengan cara yang sama dengan teori jenis. Informasi dasar tentang hal itu adalah.

Memisahkan elemen set dan lain-lain. Terbuat sehingga asumsi menemukan pluralitas selalu tidak benar atau tidak berarti. Set hanya dapat diberikan ketika mendefinisikan kondisi mereka bukan tipe pelanggaran. Dengan demikian, untuk Quine, ekspresi "x bukan anggota dari x" adalah pernyataan yang berarti tidak menyiratkan adanya himpunan semua elemen x memuaskan kondisi ini.

Dalam sistem ini set ada untuk beberapa terbuka formula A jika dan hanya jika bertingkat, t. E. Jika variabel ditugaskan bilangan bulat positif sehingga untuk setiap kejadian karakteristik pluralitas sebelumnya variabel itu ditugaskan satuan tugas lebih kecil dari variabel, berikut setelah dia. paradoks ini blok Russell, karena rumus yang digunakan untuk menentukan masalah set, ada yang sama sebelum dan setelah tanda keanggotaan variabel membuatnya unstratified.

Tapi itu belum menentukan apakah sistem yang dihasilkan, yang Quine disebut "Yayasan New logika matematika" konsisten.

penolakan

Suatu pendekatan yang berbeda diambil dalam teori Zermelo - Fraenkel (ZF). Di sini, juga, menetapkan batas keberadaan set. Sebaliknya, pendekatan "top-down" dari Russell dan Frege, yang awalnya berpikir bahwa untuk semua konsep, sifat, atau kondisi mungkin menyarankan keberadaan himpunan semua hal dengan properti ini atau untuk memenuhi kondisi tersebut, di ZF-teori, semuanya dimulai "dari bawah ke atas."

elemen individual dari himpunan kosong dan membentuk satu set. Oleh karena itu, tidak seperti sistem sebelumnya dan Russell Frege FIT bukan milik set yang universal yang mencakup semua elemen dan bahkan semua set. ZF menetapkan batasan ketat pada keberadaan set. Mungkin ada hanya mereka yang itu jelas mendalilkan atau yang dapat diformulasikan dengan proses berulang dan sejenisnya. D.

Kemudian, bukannya konsep abstraksi set naif yang menyatakan bahwa unsur tertentu termasuk dalam set jika dan hanya jika memenuhi kondisi dalam prinsip pemisahan digunakan DF, pemisahan atau "menyortir". Daripada mengasumsikan keberadaan himpunan semua elemen yang tanpa kecuali memenuhi kondisi tertentu, untuk setiap set yang ada Aussonderung menunjukkan adanya subset dari semua elemen di set asli yang memenuhi kondisi tersebut.

Kemudian datang prinsip abstraksi: jika himpunan A ada, maka, untuk semua x di A, x milik subset A, yang memenuhi kondisi jika dan hanya jika x memenuhi kondisi C. Pendekatan ini menyelesaikan paradoks Russell, karena kita tidak bisa hanya berasumsi yaitu, himpunan semua set yang bukan anggota dari diri mereka sendiri.

Memiliki banyak set, Anda dapat memilih atau membaginya menjadi set, yang dalam diri mereka sendiri, dan mereka yang tidak seperti itu, tapi karena tidak ada universal set kita tidak terikat himpunan semua set. Tanpa asumsi masalah set Russell kontradiksi tidak dapat dibuktikan.

solusi lain

Selain itu, telah ada ekstensi berikutnya atau modifikasi dari solusi ini, seperti teori garpu-jenis "Prinsip Matematika" ekspansi sistem "logika matematika" Quine, serta perkembangan terbaru dalam teori set, dibuat Bernays, Gödel dan von Neumann. Pertanyaan apakah respon terhadap paradoks larut Bertrand Russell ditemukan, masih menjadi bahan perdebatan.