Konsep dasar teori probabilitas. Hukum teori probabilitas

Banyak orang, ketika dihadapkan dengan gagasan "teori probabilitas", takut, berpikir bahwa itu adalah sesuatu yang tak tertahankan, sangat sulit. Tapi itu sebenarnya tidak begitu tragis. Hari ini kita melihat konsep-konsep dasar teori probabilitas, belajar memecahkan masalah dengan contoh-contoh konkret.

ilmu

Apa yang mempelajari cabang matematika sebagai "teori probabilitas"? Ini mencatat pola dari peristiwa acak dan variabel. Untuk pertama kalinya isu Ilmuwan Peduli pada abad kedelapan belas, ketika belajar perjudian. konsep dasar teori probabilitas - acara. Ini adalah setiap fakta yang dinyatakan oleh pengalaman atau pengamatan. Tapi apa pengalaman? Konsep dasar lain dari teori probabilitas. Ini berarti bahwa ini bagian dari keadaan tidak sengaja diciptakan, dan dengan tujuan. Berkenaan dengan pengawasan, ada peneliti sendiri tidak berpartisipasi dalam pengalaman, tetapi hanya saksi peristiwa ini, tidak memiliki efek pada apa yang terjadi.

peristiwa

Kami belajar bahwa konsep dasar teori probabilitas - acara tersebut, namun tidak menganggap klasifikasi. Semua dari mereka dibagi menjadi kategori berikut:

• Handal.
• Mustahil.
• Acak.

Tidak peduli apa acara ini, yang diawasi atau dibuat dalam proses percobaan, mereka dipengaruhi oleh klasifikasi ini. Kami menawarkan setiap jenis bertemu secara terpisah.

acara tertentu

Ini adalah fakta yang membuat set yang diperlukan kegiatan. Dalam rangka untuk lebih memahami esensi, lebih baik untuk memberikan beberapa contoh. Ini adalah bawahan hukum dan fisika, kimia, ekonomi, dan matematika yang lebih tinggi. teori probabilitas mencakup konsep yang penting sebagai peristiwa penting. Berikut adalah beberapa contoh:

• Kami bekerja dan menerima remunerasi dalam bentuk upah.
• Nah lulus ujian, lulus kompetisi untuk itu untuk menerima remunerasi dalam bentuk masuk ke lembaga pendidikan.
• Kami telah menginvestasikan uang di bank, mendapatkan mereka kembali jika perlu.

Peristiwa tersebut adalah benar. Jika kita telah memenuhi semua kondisi yang diperlukan, pastikan untuk mendapatkan hasil yang diharapkan.

acara mustahil

Sekarang kita mempertimbangkan unsur-unsur dari teori probabilitas. Kami menawarkan untuk pergi ke klarifikasi dalam jenis berikut peristiwa - yaitu mustahil. Untuk memulai menetapkan aturan yang paling penting - probabilitas dari suatu peristiwa mungkin adalah nol.

Dari rumusan ini tidak dapat dikurangi dalam memecahkan masalah. Untuk menggambarkan contoh peristiwa tersebut:

• Air beku pada suhu ditambah sepuluh (tidak mungkin).
• Kurangnya listrik tidak mempengaruhi produksi (seperti tidak mungkin seperti dalam contoh sebelumnya).

contoh yang lebih diberikan tidak diperlukan, seperti dijelaskan di atas sangat jelas mencerminkan esensi dari kategori ini. acara mungkin tidak pernah terjadi selama percobaan dalam keadaan apapun.

peristiwa acak

Dengan mempelajari unsur-unsur teori probabilitas, perhatian khusus harus diberikan untuk jenis tertentu acara. Mereka adalah orang mempelajari ilmu ini. Sebagai hasil dari pengalaman sesuatu bisa terjadi atau tidak. Selain itu, tes jumlah yang tidak terbatas kali dapat dilakukan. Contoh terkenal termasuk:

• Melemparkan koin - itu adalah pengalaman, atau tes, hilangnya elang - acara ini.
• Menarik bola dari kantong buta - tes, tertangkap bola merah - acara ini dan seterusnya.

contoh semacam ini dapat menjadi jumlah yang tidak terbatas, namun, secara umum, yang harus dipahami. Untuk meringkas dan sistematisasi pengetahuan yang diperoleh tentang peristiwa meja. Studi teori probabilitas hanya jenis terakhir dari semua disajikan.

hukum

Probabilitas teori - ilmu yang mempelajari kemungkinan hilangnya acara apapun. Seperti yang lain, ia memiliki beberapa aturan. mengikuti hukum dari teori probabilitas:

• Konvergensi urutan variabel acak.
• Hukum bilangan besar.

Saat menghitung kemungkinan kompleks dapat digunakan acara sederhana yang kompleks untuk mencapai hasil yang lebih mudah dan lebih cepat dengan cara. Perlu dicatat bahwa hukum teori probabilitas dapat dengan mudah dibuktikan dengan bantuan beberapa teorema. Kami menyarankan untuk mulai berkenalan dengan hukum pertama.

Konvergensi urutan variabel acak

Perhatikan bahwa konvergensi beberapa jenis:

• Urutan variabel acak konvergensi di probabilitas.
• Hampir mustahil.
• konvergensi RMS.
• Konvergensi dalam distribusi.

Jadi, dengan cepat, sangat sulit untuk memahami esensi. Berikut adalah definisi yang akan membantu untuk memahami topik. Untuk mulai dengan tampilan pertama. Urutan ini disebut konvergensi dalam probabilitas, jika kondisi berikut: n mendekati tak terhingga, jumlah dicari oleh urutan lebih besar dari nol dan dekat dengan unit.

Pergi ke tampilan berikutnya, hampir pasti. Mereka mengatakan bahwa urutan konvergen hampir pasti ke variabel acak dengan n cenderung tak terbatas, dan R, cenderung ke nilai mendekati satu.

Jenis berikutnya - konvergensi RMS. Bila menggunakan konvergensi SC-learning proses acak vektor mengurangi untuk mempelajari proses acak berkoordinasi.

Adalah jenis terakhir, mari kita lihat sebentar dan pergi langsung ke solusi dari masalah. Konvergensi dalam distribusi memiliki nama lain - "lemah", kemudian menjelaskan mengapa. Lemah konvergensi - adalah konvergensi dari fungsi distribusi di semua titik kontinuitas dari fungsi distribusi batas.

Pastikan untuk menjaga janji: lemah konvergensi berbeda dari semua di atas bahwa variabel acak tidak didefinisikan pada ruang probabilitas. Hal ini dimungkinkan karena kondisi ini terbentuk secara eksklusif menggunakan fungsi distribusi.

Hukum bilangan besar

pembantu yang besar dalam pembuktian hukum akan teorema teori probabilitas, seperti:

• ketidaksetaraan Chebyshev.
• teorema Chebyshev.
• Umum Chebyshev teorema.
• Markov teorema.

Jika kita mempertimbangkan semua teorema ini, maka masalah dapat mengambil beberapa puluh lembar. Kami memiliki tugas utama - adalah aplikasi dari teori probabilitas dalam praktek. Kami menawarkan Anda sekarang dan melakukannya. Tapi sebelum kita mempertimbangkan aksioma teori probabilitas, mereka adalah mitra kunci dalam memecahkan masalah.

aksioma

Dari pertama, kami telah melihat, ketika berbicara tentang peristiwa mustahil. Mari kita ingat: probabilitas dari suatu peristiwa mungkin adalah nol. Misalnya kita memberikan yang sangat jelas dan mudah diingat: salju jatuh pada suhu udara tiga puluh derajat Celcius.

Yang kedua adalah sebagai berikut: peristiwa tertentu terjadi dengan persatuan probabilitas. Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana hal itu ditulis dengan bantuan bahasa matematika: P (B) = 1.

Ketiga: Sebuah peristiwa acak mungkin terjadi atau tidak, tapi kemungkinan selalu bervariasi dari nol sampai satu. Semakin dekat itu adalah untuk persatuan, semakin banyak kesempatan; jika nilai mendekati nol, probabilitas sangat rendah. Kami menulis ini dalam bahasa matematika: 0

Pertimbangkan yang terakhir, aksioma keempat, yaitu: jumlah dari probabilitas dari dua peristiwa adalah sama dengan jumlah probabilitas mereka. Menulis istilah matematika: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksioma teori probabilitas - itu adalah aturan sederhana yang tidak akan sulit untuk diingat. Mari kita coba untuk memecahkan beberapa masalah, berdasarkan pengetahuan yang sudah diperoleh.

karcis lotere

Pertama, pertimbangkan contoh sederhana - lotre. Bayangkan bahwa Anda membeli tiket lotere untuk keberuntungan. Berapa probabilitas yang akan Anda menang setidaknya dua puluh rubel? Total sirkulasi terlibat dalam seribu tiket, salah satu yang memiliki hadiah lima ratus rubel, 1000 rubel, dua puluh lima puluh rubel, dan 100-5. Tugas teori probabilitas berdasarkan bagaimana menemukan cara untuk keberuntungan. Sekarang bersama-sama kita menganalisis keputusan atas Tugas pandangan.

Jika kita dilambangkan dengan A hadiah lima ratus rubel, maka probabilitas A sama dengan 0,001. Bagaimana kita dapatkan? Hanya perlu jumlah "beruntung" tiket dibagi dengan jumlah (dalam hal ini: 1/1000).

Dalam - keuntungan dari seratus rubel, probabilitas akan sama dengan 0,01. Sekarang kita telah bertindak dengan cara yang sama sebagai tindakan terakhir (10/1000)

C - hasil dua puluh rubel. Cari probabilitas, itu sama dengan 0,05.

Sisa tiket kita tidak tertarik, karena hadiah uang mereka kurang dari yang ditentukan dalam kondisi tersebut. Oleskan aksioma keempat: Probabilitas menang setidaknya dua puluh rubel adalah P (A) + P (B) + P (C). Huruf P menunjukkan probabilitas asal acara, kita di langkah sebelumnya telah menemukan mereka. Tetap hanya untuk meletakkan data yang diperlukan, respon kita mendapatkan 0,061. Jumlah ini akan menjadi jawaban untuk pertanyaan dari pekerjaan.

deck Kartu

Masalah pada teori probabilitas, ada juga yang lebih kompleks, misalnya, mengambil pekerjaan berikutnya. Sebelum dek Anda dari tiga puluh enam kartu. Tugas Anda - untuk menarik dua kartu berturut-turut, tanpa pencampuran tumpukan, kartu pertama dan kedua harus ace, setelan tidak penting.

Untuk memulai, menemukan probabilitas bahwa kartu pertama adalah kartu As, membagi ini dengan empat dan tiga puluh enam. Sisihkan. Kami mendapatkan kartu kedua adalah seorang ace dengan probabilitas 335. Probabilitas acara kedua tergantung pada kartu kita menarik yang pertama, kita tertarik, itu adalah ace atau tidak. Dari sini berarti bahwa dalam hal tergantung pada event A.

Langkah selanjutnya kita menemukan kemungkinan pelaksanaan simultan, yaitu, kalikan A dan B. Pekerjaan mereka adalah sebagai berikut: probabilitas dari satu acara dikalikan dengan probabilitas bersyarat dari yang lain, kita menghitung, dengan asumsi bahwa acara pertama telah terjadi, yaitu, kartu pertama kita menarik sebuah ace.

Untuk menjadi semuanya jelas, memberikan penunjukan elemen seperti probabilitas bersyarat dari acara tersebut. Hal ini dihitung dengan asumsi bahwa kejadian A terjadi. Hal ini dihitung sebagai berikut: P (B / A).

Kami memperluas solusi untuk masalah kita: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) atau P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). probabilitas adalah (4/36) _* ((3/35) / (4/36) dihitung dengan pembulatan ke seratus terdekat Kami memiliki: .. 0.11 _* (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. probabilitas bahwa kita menarik keluar dua ace berturut-turut adalah sama dengan 9/100. nilai ini sangat kecil, berarti probabilitas acara terjadinya sangat rendah.

ruangan lupa

Kami menawarkan membuat beberapa pilihan yang lebih dari pekerjaan yang mempelajari teori probabilitas. Contoh solusi dari beberapa yang Anda pernah melihat dalam artikel ini, mencoba untuk memecahkan masalah berikut: Anak itu lupa nomor telepon untuk digit terakhir dari temannya, tapi karena panggilan itu sangat penting, maka mulai mengambil satu per satu. Kita perlu menghitung probabilitas bahwa ia akan memanggil tidak lebih dari tiga kali. solusi yang paling sederhana dari masalah, jika Anda tahu aturan, hukum dan aksioma teori probabilitas.

Sebelum Anda melihat solusi, mencoba memecahkan sendiri. Kita tahu bahwa angka terakhir mungkin dari nol sampai sembilan, dengan total sepuluh nilai-nilai. skor probabilitas yang dibutuhkan adalah 1/10.

Selanjutnya kita perlu mempertimbangkan pilihan untuk asal-usul kejadian, mari kita asumsikan bahwa anak itu menebak dengan benar dan memenangkan kanan, kemungkinan peristiwa tersebut adalah sama dengan 1/10. Pilihan kedua: slip panggilan pertama, dan target kedua. Kami menghitung probabilitas dari peristiwa tersebut: 9/10 dikalikan dengan 1/9 pada akhirnya kami mendapatkan 1/10. Pilihan ketiga: pertama dan kedua panggilan ternyata alamat yang salah, hanya anak laki-laki ketiga adalah di mana ia inginkan. Menghitung probabilitas peristiwa seperti: 9/10 dikalikan dengan 8/9 dan 1/8, kita memperoleh akibat 1/10. Pilihan lain pada kondisi masalah kita tidak tertarik, ini tetap bagi kita untuk meletakkan hasil ini, pada akhirnya kita memiliki 3/10. Jawabannya: Probabilitas bahwa anak laki-laki akan menelepon tidak lebih dari tiga kali, sama dengan 0,3.

Kartu dengan nomor

Sebelum Anda sembilan kartu, yang masing-masing ditulis nomor 1-9, angka-angka tersebut tidak terulang. Mereka dimasukkan ke dalam kotak dan aduk rata. Anda perlu menghitung probabilitas bahwa

• digulung genap;
• dua-digit.

Sebelum melanjutkan ke keputusan menetapkan bahwa m - adalah jumlah kasus yang berhasil, dan n - adalah jumlah total pilihan. Mari kita cari probabilitas bahwa angka tersebut bahkan. Tidak sulit untuk menghitung bahwa bahkan nomor empat, dan itu adalah m kami, semua sembilan opsi yang mungkin, yaitu, m = 9. Maka probabilitas adalah sama dengan 0,44 atau 4/9.

Kami menganggap kasus kedua, jumlah varian sembilan, dan hasil yang sukses tidak bisa sama sekali, yaitu, m adalah nol. Probabilitas bahwa kartu memanjang akan berisi angka dua digit, sebagai nol.