FormasiPendidikan menengah dan sekolah

Diagonal trapesium sama sisi. Apa garis tengah trapesium. Jenis trapesium. Trapeze - itu ..

Trapeze - kasus khusus dari segi empat, di mana sepasang sisi sejajar. Istilah "trapesium" berasal dari kata τράπεζα Yunani, yang berarti "meja", "table". Pada artikel ini kita akan melihat jenis trapeze dan sifat-sifatnya. Juga, kita melihat bagaimana menghitung elemen individual dari sosok geometris. Sebagai contoh, diagonal dari trapezium sama sisi, garis tengah, daerah dan lain-lain. Materi yang terkandung dalam dasar geometri gaya populer, t. E. Dalam cara yang mudah diakses.

Ikhtisar

Pertama, mari kita memahami apa segi empat. Angka ini merupakan kasus khusus dari poligon yang memiliki empat sisi dan empat simpul. Dua simpul dari segiempat, yang tidak berdekatan, disebut berlawanan. Hal yang sama dapat dikatakan dari kedua belah pihak non-berdekatan. Jenis utama dari quadrangles - genjang, persegi panjang, belah ketupat, persegi, trapesium dan deltoid.

Jadi kembali ke trapeze. Seperti yang telah kami katakan, angka ini kedua belah pihak sejajar. Mereka disebut basa. Dua lainnya (non-paralel) - sisi. Bahan-bahan dari berbagai ujian dan ujian yang sangat sering Anda dapat memenuhi tantangan yang berkaitan dengan trapezoids yang solusinya sering membutuhkan pengetahuan siswa tidak tercakup oleh program. Kursus Sekolah geometri memperkenalkan murid dengan sifat sudut dan diagonal serta garis median trapesium sama kaki. Tapi selain itu disebut bentuk geometris memiliki fitur lain. Tapi tentang mereka nanti ...

jenis trapeze

Ada banyak jenis angka ini. Namun, paling sering adat untuk mempertimbangkan dua dari mereka - sama kaki dan persegi panjang.

1. Rectangular trapesium - sosok yang salah satu sisi tegak lurus ke dasar. Dia memiliki dua sudut yang selalu sama dengan sembilan puluh derajat.

2. sama kaki trapesium - sosok geometris yang sisi adalah sama. Jadi, dan sudut di dasar juga sama.

Prinsip-prinsip utama metode untuk mempelajari sifat-sifat trapesium

Prinsip-prinsip dasar termasuk penggunaan yang disebut pendekatan tugas. Bahkan, tidak perlu untuk masuk ke kursus Geometri teoritis properti baru dari angka ini. Mereka dapat terbuka atau dalam proses merumuskan berbagai tugas (sistem yang lebih baik). Hal ini sangat penting bahwa guru tahu tugas apa yang Anda butuhkan untuk menempatkan di depan siswa pada waktu tertentu dari proses pembelajaran. Selain itu, masing-masing properti trapesium dapat direpresentasikan sebagai tugas utama dalam sistem tugas.

Prinsip kedua adalah yang disebut organisasi spiral dari studi "luar biasa" sifat trapeze. Ini berarti kembali ke proses belajar fitur individual dari sosok geometris. Dengan demikian, siswa lebih mudah untuk mengingat mereka. Misalnya, milik empat poin. Hal ini dapat dibuktikan sebagai dalam studi kesamaan dan kemudian menggunakan vektor. Sebuah segitiga Sama berdekatan dengan sisi gambar, adalah mungkin untuk membuktikan dengan menggunakan tidak hanya sifat-sifat segitiga dengan ketinggian yang sama dilakukan untuk sisi yang terletak pada garis lurus, tetapi juga dengan menggunakan rumus S = 1/2 (ab * sinα). Selain itu, adalah mungkin untuk bekerja di luar hukum sinus ke trapezium tertulis atau segitiga siku-siku dan trapesium dijelaskan dalam t. D.

Penggunaan "ekstrakurikuler" menampilkan sosok geometris dalam isi kursus sekolah - sebuah tasking mengajar teknologi mereka. referensi konstan untuk mempelajari sifat-sifat dari bagian yang lain memungkinkan siswa untuk belajar trapeze yang lebih dalam dan memastikan keberhasilan tugas. Jadi, kita lanjutkan untuk mempelajari sosok yang luar biasa ini.

Unsur-unsur dan sifat-sifat trapesium sama kaki

Seperti yang kita ketahui, pada gambar geometris ini sisi adalah sama. Namun dikenal sebagai trapesium yang tepat. Dan apa yang begitu luar biasa dan mengapa mendapat namanya? Fitur khusus dari angka ini menceritakan bahwa dia tidak hanya sama sisi dan sudut di dasar, tetapi juga secara diagonal. Selain itu, jumlah dari sudut trapesium sama kaki adalah sama dengan 360 derajat. Tapi itu tidak semua! Hanya sekitar sama kaki dapat digambarkan oleh lingkaran semua trapesium dikenal. Hal ini disebabkan fakta bahwa jumlah sudut yang berlawanan dalam gambar ini adalah 180 derajat, dan hanya di bawah kondisi ini dapat digambarkan sebagai lingkaran di sekitar segi empat. Berikut sifat-sifat sosok geometris adalah bahwa jarak dari puncak dasar untuk proyeksi puncak menentang pada baris yang berisi dasar ini akan sama dengan garis tengah.

Sekarang mari kita lihat bagaimana menemukan sudut-sudut trapesium sama kaki. Pertimbangkan solusi untuk masalah ini, asalkan ukuran partai yang dikenal sosok.

keputusan

Ini adalah adat untuk menunjukkan surat-surat segi empat A, B, C, D, di mana BS dan BP - yayasan. Dalam trapesium sama kaki sisi yang sama. Kami berasumsi bahwa ukuran mereka sama dengan X dan Y dimensi dasar dan Z (lebih rendah dan lebih besar, masing-masing). Untuk perhitungan sudut kebutuhan untuk menghabiskan di ketinggian H. Hasilnya adalah segitiga siku-siku ABN di mana AB - miring, dan BN dan AN - kaki. Menghitung ukuran kaki AN: kurangi dari dasar yang lebih besar minimal, dan hasilnya dibagi 2. menulis rumus: (ZY) / 2 = F. Sekarang, untuk menghitung sudut akut cos fungsi penggunaan segitiga. Kami mendapatkan entri berikut: cos (β) = X / F. Sekarang menghitung sudut: β = arcos (X / F). Selanjutnya, mengetahui salah satu sudut, kita dapat menentukan dan kedua, untuk membuat operasi aritmatika ini SD: 180 - β. Semua sudut didefinisikan.

Ada juga solusi kedua masalah ini. Pada awalnya dihilangkan dari sudut di ketinggian kaki N. menghitung nilai dari BN. Kita tahu bahwa kuadrat dari sisi miring dari segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya. Kami mendapatkan: BN = √ (X2 F2). Berikutnya, kita menggunakan fungsi tg trigonometri. Hasilnya adalah: β = arctg (BN / F). Sudut akut ditemukan. Berikutnya, kita mendefinisikan sudut tumpul seperti pada metode pertama.

Milik diagonal trapesium sama kaki

Pertama, kita menulis empat aturan. Jika diagonal ke trapesium sama kaki tegak lurus, maka:

- ketinggian angka tersebut sama dengan jumlah pangkalan, dibagi dua;

- tinggi dan garis tengah adalah sama;

- daerah trapesium sama dengan kuadrat tinggi (garis tengah setengah basis);

- kuadrat dari diagonal dari persegi adalah sama dengan setengah jumlah dari dua kali basis persegi atau garis tengah (tinggi).

Sekarang lihat rumus mendefinisikan diagonal trapesium sama sisi. Ini bagian dari informasi dapat dibagi menjadi empat bagian:

1. Formula panjang diagonal melalui sisinya.

Kami berasumsi bahwa A adalah - dasar yang lebih rendah, B - Top, C - sisi yang sama, D - diagonal. Dalam hal ini, panjang dapat ditentukan sebagai berikut:

D = √ (C 2 + A * B).

2. Formula untuk panjang diagonal dari kosinus.

Kami berasumsi bahwa A adalah - dasar yang lebih rendah, B - Top, C - sisi yang sama, D - diagonal, α (di dasar lebih rendah) dan β (dasar atas) - sudut trapesium. Kita memperoleh rumus berikut, dimana seseorang dapat menghitung panjang diagonal:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. Formula panjang diagonal trapesium sama kaki.

Kami berasumsi bahwa A adalah - dasar yang lebih rendah, B - atas, D - diagonal, M - garis tengah H - tinggi, P - daerah trapesium, α dan β - sudut antara diagonal. Menentukan panjang rumus berikut:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H 2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Untuk kasus ini, kesetaraan: sinα = sinβ.

4. Formula panjang diagonal melalui sisi dan tinggi.

Kami berasumsi bahwa A adalah - dasar yang lebih rendah, B - Top, C - sisi, D - diagonal, H - tinggi, α - angle dengan basis yang lebih rendah.

Menentukan panjang rumus berikut:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + F ctgα *) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Unsur-unsur dan sifat dari trapezium persegi panjang

Mari kita lihat apa yang tertarik pada gambar geometris ini. Seperti yang telah kami katakan, kami memiliki trapesium persegi panjang dua sudut kanan.

Selain definisi klasik, ada orang lain. Sebagai contoh, sebuah trapesium persegi panjang - trapesium di mana satu sisi tegak lurus ke dasar. Atau bentuk memiliki pada sudut sisi. Dalam jenis ini tinggi trapesium adalah sisi yang tegak lurus terhadap basa. Garis tengah - segmen yang menghubungkan titik-titik tengah dari kedua belah pihak. Properti elemen dikatakan adalah bahwa itu adalah sejajar dengan basis dan sama dengan setengah dari jumlah mereka.

Sekarang mari kita mempertimbangkan rumus dasar yang menentukan bentuk geometris. Untuk melakukan ini, kita mengasumsikan bahwa A dan B - dasar; C (tegak lurus ke dasar) dan D - sisi trapesium persegi panjang, M - garis tengah, α - sudut lancip, P - daerah.

1. Sisi tegak lurus terhadap basa, sosok sama dengan tinggi (C = N), dan sama dengan panjang sisi A kedua dan sinus dari α sudut di sebuah pangkalan yang lebih besar (C = A * sinα). Selain itu, sama dengan produk dari tangen dari α sudut lancip dan perbedaan dalam basis: C = (A-B) * tgα.

2. Sisi D (tidak tegak lurus ke dasar) sama dengan hasil bagi perbedaan A dan B dan cosinus (α) atau sudut akut dengan tinggi swasta angka H dan sudut akut sinus: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. Sisi yang tegak lurus terhadap basa, sama dengan akar kuadrat dari kuadrat perbedaan D - sisi kedua - dan perbedaan dasar persegi:

C = √ (q2 (A-B) 2).

4. Side A trapesium persegi panjang adalah sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat sisi persegi dan basis C geometris bentuk perbedaan: D = √ (C 2 + (A-B) 2).

5. Sisi C adalah sama dengan hasil bagi dari alun-alun ganda jumlah basis nya: C = P / M = 2P / (A + B).

6. area yang ditetapkan oleh M produk (garis tengah trapesium persegi panjang) di ketinggian atau arah lateral tegak lurus terhadap basis: P = M * N = M * C.

7. Posisi C adalah hasil bagi dari dua kali bentuk persegi dengan produk sudut sinus akut dan jumlah dari basis nya: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Formula sisi trapezium persegi panjang melalui diagonal, dan sudut antara mereka:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

di mana D1 dan D2 - diagonal trapesium; α dan β - sudut antara mereka.

9. sisi Formula melalui sudut di dasar lebih rendah dan lain-lain: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Karena trapesium dengan sudut yang tepat adalah kasus khusus trapesium, rumus lain yang menentukan angka-angka ini, akan bertemu dan persegi panjang.

properti incircle

Jika kondisi ini mengatakan bahwa dalam trapesium tertulis lingkaran persegi panjang, maka Anda dapat menggunakan properti berikut:

- jumlah dasar adalah jumlah dari sisi;

- jarak dari atas bentuk persegi panjang dengan titik-titik singgung lingkaran tertulis selalu sama;

- tinggi trapesium sama ke samping, tegak lurus dengan basa, dan sama dengan diameter lingkaran ;

- pusat lingkaran adalah titik di mana berpotongan garis bagi sudut ;

- jika sisi lateral titik kontak dibagi menjadi panjang N dan M, maka jari-jari lingkaran adalah sama dengan akar kuadrat dari produk segmen ini;

- segi empat yang dibentuk oleh titik kontak, bagian atas trapesium dan pusat lingkaran tertulis - itu adalah persegi, yang timnya sama dengan jari-jari;

- daerah angka adalah produk dari akal dan produk dari setengah jumlah dari basis pada puncaknya.

trapeze yang sama

Topik ini sangat berguna untuk mempelajari sifat-sifat geometris angka. Misalnya, split diagonal menjadi empat segitiga trapesium, dan berdekatan dengan dasar seperti, dan ke sisi - dari yang sama. Pernyataan ini bisa disebut milik segitiga, yang rusak trapeze diagonalnya. Bagian pertama dari pernyataan ini terbukti melalui tanda kesamaan dari dua sudut. Untuk membuktikan bagian kedua lebih baik menggunakan metode yang diuraikan di bawah.

Buktinya

Menerima bahwa angka ABSD (AD dan BC - dasar trapesium) adalah diagonal rusak HP dan AC. Titik persimpangan - O. Kami mendapatkan empat segitiga: AOC - di dasar lebih rendah, BOS - dasar atas, ABO dan SOD di sisi. Segitiga SOD dan biofeedback memiliki ketinggian umum dalam kasus itu, jika segmen BO dan OD adalah basis mereka. Kami menemukan bahwa perbedaan daerah mereka (P) sama dengan perbedaan segmen ini: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Akibatnya, PSOD = PBOS / K. Demikian pula, segitiga AOB dan biofeedback memiliki ketinggian yang sama. Diterima untuk segmen basis mereka SB dan OA. Kami memperoleh PBOS / PAOB = CO / OA = K dan PAOB = PBOS / K. Dari ini berikut bahwa PSOD = PAOB.

Untuk mengkonsolidasikan siswa materi didorong untuk menemukan hubungan antara bidang segitiga yang diperoleh, yang rusak trapeze diagonalnya, memutuskan tugas berikutnya. Hal ini diketahui bahwa segitiga BOS dan ADP daerah yang sama, perlu untuk menemukan daerah trapesium. Sejak PSOD = PAOB, maka PABSD PBOS + = pAOD + 2 * PSOD. Dari kesamaan segitiga BOS dan ANM berikut yang BO / OD = √ (PBOS / pAOD). Akibatnya, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / pAOD). Dapatkan PSOD = √ (* PBOS pAOD). Kemudian PABSD PBOS + = pAOD + 2 * √ (pAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

sifat-sifat kesamaan

Terus mengembangkan tema ini, adalah mungkin untuk membuktikan, dan fitur menarik lainnya dari trapesium. Jadi, dengan bantuan kesamaan dapat membuktikan segmen properti, yang melewati titik yang dibentuk oleh persimpangan diagonal dari sosok geometris, sejajar dengan tanah. Untuk ini kita memecahkan masalah berikut: perlu untuk menemukan panjang segmen RK yang melewati titik O. Dari kesamaan segitiga ADP dan SPU mengikuti bahwa AO / OS = AD / BS. Dari kesamaan segitiga ADP dan ASB berikut bahwa AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). Ini berarti bahwa BS * PO = AD / (AD + BC). Demikian pula, dari kesamaan segitiga MLC dan ABR berikut yang OK * BP = BS / (BP + BS). Ini berarti bahwa OC dan RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segmen melewati titik persimpangan diagonal sejajar dengan dasar dan menghubungkan dua sisi, titik persimpangan yang terbelah dua. Its panjang - adalah mean harmonik tokoh alasan.

Mempertimbangkan karakteristik berikut trapesium, yang disebut milik empat poin. titik persimpangan diagonal (D), persimpangan kelanjutan dari sisi (E) serta mid-basa (T dan G) selalu terletak pada garis yang sama. Sangat mudah untuk membuktikan metode kesamaan. segitiga yang dihasilkan BES serupa dan AED, dan masing-masing termasuk median ET dan DLY membagi sudut apex E di bagian yang sama. Oleh karena itu, titik E, T dan F adalah collinear. Demikian pula, pada baris yang sama diatur dalam hal T, O, dan G. Ini mengikuti dari kesamaan segitiga BOS dan ANM. Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa keempat hal - E, T, O, dan F - akan berbaring di garis lurus.

Menggunakan trapesium sama, dapat ditawarkan kepada siswa untuk menemukan panjang segmen (LF), yang membagi gambar menjadi dua seperti. potong ini harus sejajar dengan basis. Sejak trapesium ALFD LBSF yang diterima dan yang sejenis, BS / LF = LF / AD. Ini berarti bahwa LF = √ (BS * BP). Kami menyimpulkan bahwa segmen yang membagi menjadi dua trapesium seperti, memiliki panjang sama dengan rata-rata geometris dari panjang dari basis angka.

Pertimbangkan properti kesamaan berikut. Hal ini didasarkan pada segmen yang membagi trapesium menjadi dua bagian sama besar. Menerima bahwa segmen trapeze ABSD dibagi menjadi dua EH serupa. Dari puncak B menurunkan ketinggian segmen yang terbagi menjadi dua bagian EN - B1 dan B2. Mendapatkan PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Selanjutnya menyusun sistem, dimana persamaan pertama (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 dan kedua (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Oleh karena itu B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) dan BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Kami menemukan bahwa panjang membagi trapesium pada dua sama, sama dengan panjang rata-rata basis kuadrat: √ ((CN2 + AQ2) / 2).

kesimpulan kesamaan

Dengan demikian, kami telah membuktikan bahwa:

1. segmen yang menghubungkan tengah trapesium di sisi lateral, sejajar dengan BP dan BS dan BS adalah mean aritmetik dan (panjang dasar trapesium) BP.

2. bar melewati titik O dari persimpangan diagonal AD paralel dan SM akan sama dengan jumlah rata-rata harmonik BP dan BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. Segmen melanggar di trapesium sama memiliki geometris berarti basis panjang BS dan BP.

4. Unsur yang membagi bentuk menjadi dua ukuran yang sama, panjang yang berarti nomor persegi BP dan BS.

Untuk mengkonsolidasikan materi dan kesadaran keterkaitan antara segmen mahasiswa perlu untuk membangun mereka untuk trapesium tertentu. Dia bisa dengan mudah menampilkan garis rata-rata dan segmen yang melewati titik - persimpangan diagonal tokoh - sejajar dengan tanah. Tapi di mana akan menjadi yang ketiga dan keempat? Tanggapan ini akan menyebabkan siswa untuk penemuan hubungan yang tidak diketahui antara nilai rata-rata.

Segmen bergabung titik tengah dari diagonal trapesium

Pertimbangkan properti berikut gambar. Kami menerima bahwa segmen MN sejajar dengan basis dan membagi dua diagonal. titik persimpangan disebut W dan S. Segmen ini akan sama dengan setengah alasan perbedaan. Mari kita periksa ini secara lebih rinci. MSH - garis rata-rata dari segitiga ABS, itu adalah sama dengan BS / 2. Minigap - garis tengah DBA segitiga, itu sama dengan AD / 2. Kemudian kita menemukan bahwa SHSCH = minigap-MSH karena itu SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

titik berat

Mari kita lihat bagaimana mendefinisikan elemen untuk sosok geometris yang diberikan. Untuk melakukan ini, Anda harus memperpanjang dasar dalam arah yang berlawanan. Apa artinya? Hal ini diperlukan untuk menambah dasar ke bawah atas - ke salah satu pihak, misalnya, ke kanan. Sebuah rendah memperpanjang panjang kiri atas. Berikutnya, hubungkan diagonal mereka. Titik persimpangan dari segmen ini dengan garis tengah gambar adalah pusat gravitasi trapesium.

Tertulis dan dijelaskan trapeze

Mari kita daftar fitur tokoh-tokoh seperti:

1. Garis dapat tertulis dalam sebuah lingkaran hanya jika itu adalah sama kaki.

2. Sekitar lingkaran dapat digambarkan sebagai trapesium, asalkan jumlah panjang dari basis mereka adalah jumlah dari panjang sisi.

Konsekuensi dari lingkaran tertulis:

1. Ketinggian trapesium dijelaskan selalu sama dengan dua kali jari-jari.

2. sisi trapesium dijelaskan dilihat dari pusat lingkaran di sudut kanan.

Konsekuensi pertama adalah jelas, dan untuk membuktikan kedua diperlukan untuk menetapkan bahwa sudut SOD adalah langsung, yaitu, pada kenyataannya, juga tidak mudah. Tetapi pengetahuan properti ini memungkinkan Anda untuk menggunakan segitiga yang tepat untuk memecahkan masalah.

Sekarang kita tentukan konsekuensi bagi trapesium sama kaki, yang tertulis dalam sebuah lingkaran. Kami mendapatkan bahwa tingginya adalah geometris berarti angka basis: H = 2R = √ (BS * BP). Memenuhi metode dasar pemecahan masalah bagi trapesium (prinsip dua ketinggian), mahasiswa harus menyelesaikan tugas berikut. Terima BT bahwa - ketinggian sama kaki angka ABSD. Anda perlu menemukan membentang dari AT dan AP. Menerapkan rumus yang dijelaskan di atas, yang akan lakukan adalah tidak sulit.

Sekarang mari kita menjelaskan bagaimana menentukan jari-jari lingkaran dari daerah dijelaskan trapesium. Dihilangkan dari ketinggian B atas pada dasar BP. Sejak lingkaran tertulis dalam trapesium, BS + 2AB = BP atau AB = (BS + BP) / 2. Dari segitiga ABN menemukan sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Mendapatkan PABSD = (BP + BS) * R, berikut bahwa R = PABSD / (AD + BC).

.

Semua formula garis tengah trapeze

Sekarang saatnya untuk pergi ke item terakhir dari angka geometris ini. Kami akan mengerti, apa adalah garis tengah trapesium (M):

1. Melalui basis: M = (A + B) / 2.

2. Setelah ketinggian, dasar dan sudut:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Melalui ketinggian dan diagonal sudut diantaranya. Sebagai contoh, D1 dan D2 - diagonal trapesium; α, β - sudut antara mereka:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. Dalam area dan tinggi: M = R / N.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 delachieve.com. Theme powered by WordPress.