Integral tak tentu. Perhitungan integral tak tentu

Salah satu bagian mendasar dari analisis matematika adalah kalkulus integral. Ini mencakup bidang yang sangat luas objek, di mana yang pertama - itu adalah waktu yang tidak terbatas terpisahkan. Posisi berdiri sebagai kunci yang masih di sekolah tinggi mengungkapkan peningkatan jumlah prospek dan peluang, yang menggambarkan matematika yang lebih tinggi.

penampilan

Pada pandangan pertama, tampaknya benar-benar integral modern, topikal, tetapi dalam prakteknya ternyata bahwa ia kembali pada tahun 1800 SM. Rumah untuk secara resmi dianggap Mesir sebagai tidak menghubungi kami bukti awal keberadaannya. Ini karena kurangnya informasi, sambil diposisikan hanya sebagai sebuah fenomena. Dia sekali lagi menegaskan tingkat perkembangan ilmiah bangsa dari mereka kali. Akhirnya, karya-karya yang ditemukan matematikawan Yunani kuno, berasal dari abad ke-4 SM. Mereka menggambarkan metode yang digunakan di mana tak tentu integral, esensi yang menemukan volume atau luas bentuk lengkung (tiga dimensi dan dua dimensi pesawat, masing-masing). Perhitungan didasarkan pada prinsip pembagian sosok asli ke komponen sangat kecil, asalkan volume (area) sudah dikenal mereka. Seiring waktu, metode telah berkembang, Archimedes digunakan untuk menemukan daerah parabola. Perhitungan serupa pada saat yang sama untuk melakukan latihan di Cina kuno, di mana mereka benar-benar independen dari sesama sains Yunani.

pembangunan

Terobosan berikutnya pada abad XI SM telah menjadi karya cendekiawan Arab "wagon" Abu Ali al-Basri, yang mendorong batas-batas yang sudah dikenal, berasal dari rumus terpisahkan untuk menghitung jumlah dari jumlah dan derajat dari pertama sampai keempat, melamar ini kita kenal metode induksi.
Pikiran hari ini dikagumi oleh orang Mesir kuno menciptakan monumen menakjubkan tanpa alat khusus, kecuali yang dari tangan mereka sendiri, tetapi bukan merupakan kekuatan ilmuwan gila waktu tidak kurang keajaiban? Dibandingkan dengan waktu saat hidup mereka tampaknya hampir primitif, tetapi keputusan integral tak tentu disimpulkan mana-mana dan digunakan dalam praktek untuk pengembangan lebih lanjut.

Langkah berikutnya berlangsung pada abad XVI, ketika matematikawan Italia Cavalieri membawa metode terpisahkan, yang dijemput Per Ferma. Kedua kepribadian meletakkan dasar untuk kalkulus integral modern, yang dikenal saat ini. Mereka mengikat konsep diferensiasi dan integrasi, yang sebelumnya dilihat sebagai unit mandiri. Pada umumnya, matematika waktu itu partikel terfragmentasi temuan eksis sendiri, dengan penggunaan yang terbatas. Cara untuk bersatu dan menemukan kesamaan adalah satu-satunya yang benar pada saat ini, berkat dia, modern analisis matematis memiliki kesempatan untuk tumbuh dan berkembang.

Dengan berlalunya waktu mengubah segalanya dan simbol yang tidak terpisahkan juga. Pada umumnya, itu ditunjuk ilmuwan yang dengan caranya sendiri, misalnya, Newton menggunakan ikon persegi, yang menempatkan fungsi terintegral, atau hanya menempatkan bersama-sama. perbedaan ini berlangsung sampai abad XVII, ketika tengara untuk seluruh teori ilmuwan analisis matematis Gotfrid Leybnits memperkenalkan karakter seperti akrab bagi kita. Memanjang "S" sebenarnya didasarkan pada surat ini dari alfabet Romawi, karena menunjukkan jumlah dari primitif. Nama integral diperoleh berkat Jakob Bernoulli, setelah 15 tahun.

Definisi formal

Integral tak tentu tergantung pada definisi dari primitif, jadi kami menganggap itu di tempat pertama.

Antiturunan - adalah fungsi kebalikan dari derivatif, dalam prakteknya hal itu disebut primitif. Jika tidak: fungsi primitif d - adalah fungsi D, yang merupakan turunan v <=> V '= v. Pencarian primitif adalah untuk menghitung integral tak tentu, dan proses itu sendiri disebut integrasi.

contoh:

Fungsi s (y) = y ^3, dan S yang primitif (y) = (y ^4/4).

Himpunan semua primitif fungsi - ini adalah integral tak tentu, dilambangkan sebagai berikut: ∫v (x) dx.

Berdasarkan fakta bahwa V (x) - hanya beberapa fungsi asli primitif, ekspresi memegang: ∫v (x) dx = V (x) + C, di mana C - konstan. Di bawah sewenang-wenang konstan mengacu pada setiap konstan, karena turunannya adalah nol.

sifat

Sifat yang dimiliki oleh integral tak tentu, pada dasarnya berdasarkan definisi dan sifat dari turunan.
Mempertimbangkan poin kunci:

• turunan integral dari primitif primitif itu sendiri ditambah konstanta sebarang C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• turunan dari integral dari suatu fungsi adalah fungsi asli <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• konstan diambil dari bawah tanda integral <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, di mana k - adalah sewenang-wenang;
• integral, yang diambil dari jumlah dari identik sama dengan jumlah integral <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Dua sifat terakhir dapat disimpulkan bahwa integral tak tentu adalah linear. Karena ini, kita memiliki: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Untuk melihat contoh memperbaiki solusi integral tak tentu.

Anda harus menemukan ∫ integral (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Dari contoh kita dapat menyimpulkan bahwa Anda tidak tahu bagaimana untuk memecahkan integral tak tentu? Hanya menemukan semua primitif! Tapi mencari prinsip-prinsip yang dibahas di bawah.

Metode dan Contoh

Untuk mengatasi integral, Anda dapat resor untuk metode berikut:

• siap untuk mengambil keuntungan dari meja;
• integrasi parsial;
• terintegrasi dengan mengganti variabel;
• menyimpulkan bawah tanda diferensial tersebut.

tabel

Yang paling sederhana dan menyenangkan cara. Pada saat ini, analisis matematis dapat membanggakan tabel cukup luas, yang dibilang rumus dasar integral tak tentu. Dengan kata lain, ada template berasal terserah Anda dan Anda hanya dapat mengambil keuntungan dari mereka. Berikut adalah daftar posisi meja utama, yang dapat ditampilkan hampir setiap contoh, memiliki solusi:

• ∫0dy = C, di mana C - konstan;
• ∫dy = y + C, di mana C - konstan;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, di mana C - konstanta, dan n - jumlah yang berbeda dari kesatuan;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, di mana C - konstan;
• ^{∫e y dy = e y + C} , di mana C - konstan;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, di mana C - konstan;
• ∫cosydy = SINY + C, di mana C - konstan;
• ∫sinydy = -cosy + C, di mana C - konstan;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, di mana C - konstan;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, di mana C - konstan;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, di mana C - konstan;
• ∫chydy = pemalu + C, di mana C - konstan;
• ∫shydy = chy + C, di mana C - konstan.

Jika perlu, membuat beberapa langkah mengarah integran untuk tampilan tabel dan menikmati kemenangan. CONTOH: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Menurut keputusan jelas bahwa misalnya integran meja tidak memiliki multiplier 5. Kami menambahkannya secara paralel dengan mengalikan ini dengan 1/5 ekspresi umum tidak berubah.

Integrasi dengan Bagian

Pertimbangkan dua fungsi - z (y) dan x (y). Mereka harus terus terdiferensialkan pada domainnya. Dalam satu sifat diferensiasi kita memiliki: d (xz) = xdz + ZDX. Mengintegrasikan kedua belah pihak, kita mendapatkan: ∫d (xz) = ∫ (xdz + ZDX) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Menulis ulang persamaan yang dihasilkan, kita mendapatkan rumus, yang menggambarkan metode integrasi dengan bagian: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Mengapa perlu? Fakta bahwa beberapa contoh adalah mungkin untuk menyederhanakan, katakanlah, untuk mengurangi ∫xdz ∫zdx, jika yang terakhir ini dekat dengan bentuk tabel. Juga, rumus ini dapat digunakan lebih dari sekali, untuk hasil yang optimal.

Bagaimana mengatasi integral tak tentu cara ini:

• diperlukan untuk menghitung ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) ^{2s e)} / 2-e ^2s / 4 + C;

• harus menghitung ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = SLN - ∫s x ds / s = SLN - ∫ds = SLN -s + C = s (LNS-1) + C.

Mengganti variabel

Prinsip ini memecahkan integral tak tentu tak kalah laris daripada dua sebelumnya, meskipun rumit. metode ini adalah sebagai berikut: Mari V (x) - integral dari beberapa fungsi v (x). Dalam hal itu sendiri yang tidak terpisahkan dalam Contoh slozhnosochinenny datang, kemungkinan untuk mendapatkan bingung dan turun solusi jalan yang salah. Untuk menghindari perubahan praktek ini dari variabel x ke z, di mana ekspresi umum visual disederhanakan dengan tetap menjaga z tergantung pada x.

Dalam istilah matematika, ini adalah sebagai berikut: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), di mana x = y ( z) - substitusi. Dan, tentu saja, fungsi inverse z = y ^-1 (x) sepenuhnya menggambarkan hubungan dan hubungan variabel. Catatan penting - dx diferensial tentu diganti dengan dz diferensial baru, karena perubahan variabel dalam integral tak tentu melibatkan penggantian di mana-mana, tidak hanya di integran.

contoh:

• harus menemukan ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

Menerapkan substitusi z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Kemudian dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Akibatnya, ekspresi berikut, yang sangat mudah untuk menghitung:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN | s ² + 2s-5 | + C;

• Anda harus menemukan terpisahkan ∫2 ^s e ^s dx

Untuk mengatasi menulis ulang dalam bentuk berikut:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2e) s ds.

Kami menunjukkan oleh = 2e (penggantian argumen langkah ini tidak, masih s), kami memberikan kami tampaknya rumit integral bentuk tabel dasar:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (LN2 + 1) + C.

Menyimpulkan tanda diferensial

Pada umumnya, metode ini integral tak tentu - saudara kembar dari prinsip perubahan variabel, tetapi ada perbedaan dalam proses pendaftaran. Mari kita mempertimbangkan secara lebih rinci.

Jika ∫v (x) dx = V (x) + C dan y = z (x), maka ∫v (y) dy = V (y) + C.

Pada saat yang sama kita tidak boleh lupa transformasi terpisahkan sepele, di antaranya:

• dx = d (x + a), dan dimana - masing konstan;
• dx = (1 / a) d (ax + b), di mana - konstan lagi, tapi tidak nol;
• Xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Jika kita mempertimbangkan kasus umum di mana kita menghitung integral tak tentu, contoh dapat dimasukkan di bawah rumus umum w '(x) dx = dw (x).

contoh:

• harus menemukan ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss) / Coss = -ln | Coss | + C.

bantuan online

Dalam beberapa kasus, kesalahan yang dapat menjadi atau kemalasan, atau kebutuhan mendesak, Anda dapat menggunakan petunjuk online, atau lebih tepatnya, untuk menggunakan kalkulator integral tak tentu. Meskipun kompleksitas jelas dan sifat kontroversial integral, keputusan tunduk pada algoritma khusus mereka, yang didasarkan pada prinsip "jika Anda tidak ... maka ...".

Tentu saja, contoh khususnya rumit dari kalkulator tersebut tidak akan menguasai, karena ada kasus di mana keputusan harus menemukan artifisial "dipaksa" dengan memperkenalkan unsur-unsur tertentu dalam proses, karena hasilnya cara yang jelas untuk mencapai. Meskipun sifat kontroversial pernyataan ini, itu benar, sebagai matematika, pada prinsipnya, ilmu abstrak, dan tujuan utamanya menganggap perlu untuk memberdayakan perbatasan. Memang, untuk kelancaran run-dalam teori sangat sulit untuk bergerak naik dan berkembang, jadi jangan menganggap bahwa contoh pemecahan integral tak tentu, yang memberi kami - ini adalah ketinggian peluang. Tapi kembali ke sisi teknis hal. Setidaknya untuk memeriksa perhitungan, Anda dapat menggunakan layanan di mana ia ditulis kepada kami. Jika ada kebutuhan untuk perhitungan otomatis ekspresi kompleks, maka mereka tidak perlu resor untuk perangkat lunak yang lebih serius. Harus memperhatikan terutama pada lingkungan Matlab.

aplikasi

Keputusan integral tak tentu pada pandangan pertama tampaknya benar-benar terpisah dari kenyataan, karena sulit untuk melihat penggunaan yang jelas dari pesawat. Memang, langsung menggunakannya di mana saja Anda tidak bisa, tetapi mereka adalah elemen menengah yang diperlukan dalam proses penarikan solusi yang digunakan dalam praktek. Dengan demikian, integrasi diferensiasi kembali, sehingga secara aktif berpartisipasi dalam proses pemecahan persamaan.
Pada gilirannya, persamaan ini memiliki dampak langsung pada keputusan masalah mekanis, perhitungan lintasan dan konduktivitas termal - singkatnya, segala sesuatu yang merupakan masa kini dan membentuk masa depan. contoh tak terbatas terpisahkan, yang kita telah dipertimbangkan di atas, hanya sepele pada pandangan pertama, sebagai dasar untuk melaksanakan lebih banyak dan lebih penemuan-penemuan baru.