Turunan dari sinus sudut sama dengan kosinus dengan sudut yang sama

Dengan fungsi trigonometri yang paling sederhana y = Sin (x), maka dapat dibedakan pada masing-masing poin dari keseluruhan domain definisi. Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa turunan dari sinus argumen apapun sama dengan kosinus dari sudut yang sama, yaitu y '= Cos (x).

Buktinya didasarkan pada definisi turunan fungsi

Kita mendefinisikan x (sewenang-wenang) di beberapa lingkungan kecil Δx dari titik tertentu x0. Mari kita tunjukkan nilai fungsi di dalamnya dan pada titik x untuk menemukan kenaikan fungsi yang diberikan. Jika Δx adalah kenaikan argumen, maka argumen baru adalah x ₀ + Δx = x, nilai fungsi ini untuk nilai argumen Y (x) adalah Sin (x ₀ + Δx), nilai fungsi pada titik tertentu y (x ₀ ) .

Sekarang kita memiliki Δy = Sin (x ₀ + Δx) -Sin (x ₀ ) adalah kenaikan fungsi yang diperoleh.

Dengan rumus sinus dari jumlah dua sudut yang tidak sama, kita akan mengubah perbedaannya.

(Cos) = cos (Δx) + Cos (x ₀ ) · Sin (Δx) minus Sin (x ₀ ) = (Cos (Δx) -1) · Sin (x ₀ ) + Cos (x ₀ ) · Dosa (Δx).

Melakukan permutasi dari istilah, mengelompokkan yang pertama dengan Sin ketiga (x ₀ ), membawa pengganda umum - untuk tanda kurung. Kami memperoleh ekspresi Cos (Δx) -1. Tetap untuk mengubah tanda di depan braket dan dalam tanda kurung. Mengetahui mana yang 1-Cos (Δx), kita membuat substitusi dan mendapatkan ungkapan sederhana, yang kemudian kita bagi dengan Δx.
Δy / Δx akan memiliki bentuk: Cos (x ₀ ) · Sin (Δx) / Δx-2 · Sin ² (0,5 · Δx) · Sin (x ₀ ) / Δx. Ini adalah rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen yang diijinkan.

Ini tetap menemukan batas rasio lim yang diperoleh untuk Δ x cenderung nol.

Diketahui bahwa batas Sin (Δx) / Δx sama dengan 1, dalam kondisi ini. Ekspresi 2 · Sin ² (0,5 · Δx) / Δx dalam hasil yang dihasilkan dikurangi ke produk yang mengandung batas luar biasa pertama sebagai pengganda: bagi pembilang dan penyebut fraksi dengan 2, ganti kuadrat sinus oleh produk. Disini jadi:
(Sin (0.5 · Δx) / (0.5 · Δx)) · Dosa (Δx / 2).
Batas ungkapan ini untuk Δ x cenderung nol sama dengan nol (1 dikalikan dengan 0). Ternyata batas rasio Δy / Δx adalah Cos (x ₀ ) · 1-0, ini adalah Cos (x ₀ ), sebuah ungkapan yang tidak bergantung pada Δ x cenderung ke 0. Ini mengarah pada kesimpulan bahwa turunan sinus dari setiap sudut x adalah Cosine x, kita tulis sebagai y '= Cos (x).

Rumus yang dihasilkan dimasukkan dalam tabel derivatif yang diketahui, dimana semua fungsi dasar

Saat memecahkan masalah di mana turunan sinus terjadi, seseorang dapat menggunakan aturan diferensiasi dan formula siap pakai dari tabel. Sebagai contoh: temukan turunan dari fungsi yang paling sederhana y = 3 · Sin (x) -15. Kami menggunakan aturan dasar diferensiasi, penghapusan faktor numerik di balik tanda turunan, dan perhitungan turunan dari angka konstan (ini adalah nol). Kami menerapkan nilai tabulasi turunan sinus dari sudut x, sama dengan Cos (x). Kita mendapatkan jawabannya: y '= 3 · Cos (x) -O. Turunan ini, pada gilirannya, juga merupakan fungsi dasar y = 3 · Cos (x).

Turunan dari sinus adalah kuadrat dari argumen apapun

Saat menghitung ungkapan ini (Sin ² (x)) ', perlu diingat bagaimana fungsi kompleks dibedakan. Jadi, y = sin ² (x) - adalah fungsi daya, karena sinus itu kuadrat. Argumennya juga merupakan fungsi trigonometri, Argumen yang kompleks. Hasil dalam kasus ini sama dengan produk yang faktor pertamanya adalah turunan kuadrat dari argumen kompleks yang diberikan, dan yang kedua adalah turunan dari sinus. Ini adalah bagaimana aturan untuk membedakan fungsi fungsi yang terlihat: (u (v (x))) 'sama dengan (u (v (x)))' (v (x)) '. Ekspresi v (x) adalah argumen kompleks (fungsi internal). Jika fungsi "igrok sama dengan sinus di kuadrat x" diberikan, maka turunan dari fungsi kompleks ini adalah y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). Dalam produk, pengganda dua kali lipat pertama adalah turunan dari fungsi daya yang diketahui, dan Cos (x) adalah turunan dari sinus, argumen fungsi kuadrat kompleks. Hasil akhirnya bisa ditransformasikan dengan menggunakan rumus trigonometri sinus dari sudut ganda. Jawaban: derivatifnya adalah Sin (2 x). Formula ini mudah diingat, sering digunakan sebagai tabular.