Polyhedra. Jenis polyhedra dan sifat mereka

Polyhedra tidak hanya menempati tempat yang menonjol dalam geometri, tetapi juga terjadi dalam kehidupan sehari-hari setiap orang. Belum lagi buatan item terkait dalam berbagai poligon, mulai dari kotak korek api dan berakhir elemen arsitektur di alam juga terjadi kristal dalam bentuk kubus (garam), prisma (kristal), piramida (scheelite), oktahedra (diamond), dll . d.

Konsep polyhedron, dalam jenis geometri polyhedrons

ilmu geometri terdiri dari bagian stereometry yang berhubungan dengan karakteristik dan sifat-sifat curah bentuk. Geometris sisi tubuh terbentuk dalam ruang tiga-dimensi dibatasi oleh pesawat (aspek) yang dikenal sebagai "polytopes". Jenis polyhedra memiliki lebih dari selusin perwakilan dari jumlah yang berbeda dan bentuk wajah.

Namun demikian, semua polyhedra memiliki sifat umum:

1. Mereka semua memiliki tiga komponen yang tidak terpisahkan: wajah (permukaan poligonal), bagian atas (sudut yang dibentuk di kompleks segi tanah), tepi (sisi atau dipotong bentuk terbentuk di persimpangan dua wajah).
2. Setiap sisi poligon menghubungkan dua, dan hanya dua wajah yang dalam hubungan satu sama lain yang berdekatan.
3. tonjolan berarti bahwa tubuh benar-benar diatur hanya pada satu sisi dari pesawat yang terletak salah satu wajah. aturan berlaku untuk semua wajah dari polyhedron. Bentuk-bentuk geometris di jangka geometri solid disebut polyhedra cembung. Pengecualian stellata polyhedra yang berasal dari tubuh geometris biasa poligonal.

Polyhedra dapat dibagi menjadi:

1. Jenis polyhedra cembung, yang terdiri dari kelas berikut: konvensional atau klasik (prisma, piramida, kotak), kanan (juga disebut padatan Platonis), semiregular (nama kedua - padatan Archimedean).
2. Non-cembung polyhedrons (seperti bintang).

Prisma dan sifat-sifatnya

Geometri sebagai geometri divisi mempelajari sifat-sifat tiga dimensi bentuk, jenis polyhedra (prisma di antara mereka). Prisma disebut tubuh geometris yang telah diperlukan dua wajah identik (juga disebut basis) berbaring di bidang sejajar, dan n-th dari posisi menghadap dalam bentuk jajaran genjang. Pada gilirannya, prisma juga memiliki beberapa varietas, termasuk jenis seperti polyhedra, seperti:

1. Paralelpipedum - terbentuk ketika dasar adalah genjang - poligon dengan pasang dua berlawanan sudut yang sama dan dua pasang sisi yang berlawanan kongruen.
2. Prisma tegak lurus ke tepi dasar.
3. Prisma miring ditandai dengan angle tidak langsung (selain 90) antara wajah dan dasar.
4. Yang tepat ditandai basis prisma dalam bentuk poligon beraturan dengan sisi lateral yang sama.

Sifat utama dari prisma:

• dasar kongruen.
• Semua tepi prisma adalah sama dan sejajar satu sama lain.
• Semua wajah sisi memiliki bentuk genjang.

piramida

Piramida yang disebut tubuh geometris yang terdiri dari dasar dan salah satu n-th dari wajah segitiga yang menghubungkan pada satu titik - atas. Perlu dicatat bahwa jika wajah sisi piramida yang diwakili oleh segitiga diperlukan, maka dasar bisa seperti poligon segitiga atau segiempat dan pentagonal, dan seterusnya sampai tak berhingga. Dalam hal ini, nama piramida sesuai dengan poligon di pangkalan. Sebagai contoh, jika dasar adalah segitiga piramida - piramida segitiga, segiempat - segi empat, dll ...

Piramida - itu konusopodobnye polyhedra. Jenis polyhedra kelompok ini, selain di atas, juga termasuk perwakilan berikut:

1. piramida biasa memiliki dasar poligon beraturan, dan tingginya diproyeksikan ke pusat lingkaran tertulis dalam dasar atau dibatasi di sekitarnya.
2. Sebuah piramida persegi panjang terbentuk ketika salah satu tepi sisi berpotongan dasar di sudut kanan. Dalam kasus seperti itu, tepi ini benar juga disebut tinggi piramida.

Properti piramida:

• Dalam kasus di mana semua sisi tepi piramida kongruen (sama tinggi), mereka semua tumpang tindih dengan basis di salah satu sudut, dan di sekitar dasar dapat menggambar lingkaran dengan pusat bertepatan dengan proyeksi titik piramida.
• Jika dasar piramida adalah poligon beraturan, semua tepi lateral kongruen, dan wajah-wajah yang segitiga sama kaki.

Regular polyhedron: jenis dan sifat polyhedra

Dalam stereometrical menempati tempat khusus tubuh geometris dengan sepenuhnya sama satu sama aspek lain simpul yang terhubung ke nomor yang sama dari tulang rusuk. Badan-badan ini disebut padatan Platonis, atau polyhedra biasa. Jenis polyhedra dengan sifat seperti itu, hanya ada lima angka:

1. Tetrahedron.
2. Hexahedron.
3. Segi delapan.
4. Dodecahedron.
5. Icosahedron.

Nama polyhedra reguler yang diperlukan untuk filsuf Yunani kuno Plato dijelaskan badan-badan geometris dalam pekerjaan mereka dan menghubungkan mereka dengan unsur-unsur alam: bumi, air, api, udara. Angka kelima diberikan kesamaan dengan struktur alam semesta. Menurut dia, atom bencana alam menyerupai jenis polyhedra biasa. Berkat fitur yang paling spektakuler - simetri, bentuk-bentuk geometris yang sangat menarik tidak hanya untuk matematikawan dan filsuf kuno, tetapi juga untuk arsitek, pelukis dan pematung sepanjang masa. Kehadiran hanya 5 spesies dengan mutlak simetri polyhedra dianggap sebagai penemuan yang mendasar, mereka bahkan diberikan sehubungan dengan ilahi.

Hexahedron dan sifat-sifatnya

Dalam bentuk penerus hexahedron Plato diasumsikan kesamaan dengan struktur atom bumi. Tentu saja, sekarang benar-benar membantah hipotesis ini, yang, bagaimanapun, tidak mengganggu gambar dan modernitas untuk menarik pikiran tokoh terkenal estetika nya.

Dalam geometri, sebuah hexahedron, ia Kubus dianggap sebagai kasus khusus dari kotak, yang, pada gilirannya, adalah jenis prisma. Dengan demikian, sifat-sifat yang berhubungan dengan sifat kubus prisma dengan satu-satunya perbedaan bahwa semua tepi dan sudut kubus adalah sama. Dari sifat-sifat berikut:

1. Semua tepi kubus adalah kongruen dan berbaring di pesawat sejajar dengan menghormati satu sama lain.
2. Semua wajah - kotak kongruen (dari kubus 6), salah satu yang dapat diambil sebagai dasar.
3. Semua sudut sama intergranal 90.
4. Dari setiap sudut memiliki jumlah yang sama dari tulang rusuk, yaitu 3.
5. kubus memiliki sembilan sumbu simetri, yang semua berpotongan pada titik persimpangan diagonal dari hexahedron, yang disebut sebagai pusat simetri.

segi empat

Tetrahedron - tetrahedron dengan tepi yang sama dalam bentuk segitiga, setiap sudut dari yang merupakan titik persimpangan tiga tepi.

Sifat dari tetrahedron biasa:

1. Semua wajah tetrahedron - sebuah segitiga sama sisi, yang berarti bahwa semua wajah tetrahedron adalah kongruen.
2. Karena dasar adalah sosok geometris yang teratur, yaitu, ia memiliki sisi yang sama, wajah tetrahedron dan berkumpul di sudut yang sama, yaitu semua sudut yang sama.
3. sudut jumlah planar di masing-masing simpul adalah sama dengan 180, karena semua sudut adalah sama, setiap sudut tetrahedron biasa 60.
4. Masing-masing simpul proyeksi titik persimpangan ketinggian berlawanan (orthocenter) wajah.

Segi delapan dan sifat-sifatnya

Menggambarkan jenis polyhedra biasa, perlu dicatat bahwa objek sebagai segi delapan, yang dapat secara visual direpresentasikan sebagai dua basis segiempat terpaku piramida biasa.

Sifat-sifat segi delapan:

1. Nama sangat dari tubuh geometris mengatakan jumlah wajah nya. Segi delapan yang terdiri dari 8 segitiga sama sisi kongruen, yang masing-masing sama dengan jumlah wajah simpul konvergen, yaitu 4.
2. Karena semua wajah segi delapan yang sama dan sudutnya intergranal, yang masing-masing adalah 60, dan jumlah planar sudut setiap simpul demikian 240.

pigura berduabelas segi

Jika kita membayangkan bahwa semua wajah tubuh geometris adalah pentagon biasa, Anda mendapatkan dodecahedron - sosok 12 poligon.

Properti dodecahedron:

1. Pada setiap titik berpotongan sepanjang tiga sisi.
2. Semua wajah yang sama dan memiliki panjang yang sama dari tulang rusuk, dan daerah yang sama.
3. Pada dodecahedron 15 sumbu dan pesawat simetri, dengan salah satu dari mereka melewati tengah wajah atas dan tepi berlawanan.

Icosahedron

Sama menarik daripada dodecahedron, angka icosahedron mewakili geometris tubuh tiga dimensi 20 dengan sisi yang sama. Di antara sifat-sifat icosahedron yang tepat adalah sebagai berikut:

1. Semua wajah icosahedron - segitiga sama kaki.
2. Pada setiap titik dari polyhedron bertemu lima wajah, dan jumlah dari sudut yang berdekatan adalah 300 tops.
3. Icosahedron adalah sama dengan dan dodecahedron, 15 sumbu dan pesawat simetri melewati titik-titik tengah sisi yang berlawanan.

poligon semiregular

Selanjutnya padatan platonis, polyhedrons kelompok cembung juga termasuk padatan Archimedean, yang polyhedrons biasa dipotong. Jenis polyhedra dalam kelompok ini memiliki sifat sebagai berikut:

1. tubuh geometris adalah wajah-wajah yang sama berpasangan dari beberapa jenis, misalnya, tetrahedron dipotong adalah sama sebagai tetrahedron biasa, 8 wajah, tapi dalam tubuh kasus 4 wajah Archimedean yang berbentuk segitiga dan 4 - heksagonal.
2. Semua sudut kongruen dengan satu titik.

seperti bintang polyhedra

spesies perwakilan neobomnyh tubuh geometris - polyhedrons stellata, wajah-wajah yang bersinggungan satu sama lain. Mereka dapat dibentuk oleh penggabungan dari dua badan tiga dimensi biasa atau sebagai akibat dari kelanjutan wajah mereka.

Dengan demikian, seperti yang diketahui stellata polyhedra sebagai: bentuk stellata dari segi delapan, dodecahedron, ikosahedron, cuboctahedral, icosidodecahedron.